📢 Новое исследование в области математики!
Совместно с Рэйчел Гринфельд мы загрузили на arXiv статью [«Некоторые варианты гипотезы о периодическом замощении»](https://arxiv.org/) 🧩. В работе изучаются условия, при которых множество, способное замостить группу трансляциями, обязано делать это периодически 🔄.
Основной вопрос:
❓ Вопрос 1 (Периодическое замощение)
Пусть \( F \) — конечное подмножество абелевой группы \( G \). Если уравнение замощения \( 1F * \mathbf{1}A = \mathbf{1}_G \) имеет решение \( A \), обязательно ли существует периодическое решение \( A’ \)?
Известно, что для \( G = \mathbb{Z} \), \( \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \) и \( \mathbb{Z}^2 \) ответ да ✅, но для \( \mathbb{Z}^d \) при \( d \geq 3 \) или \( \mathbb{Z}^2 \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^N \) — нет ❌.
Новые результаты:
1. Уровневые замощения 🔢: вместо покрытия каждой точки ровно один раз (\( k=1 \)), рассматриваются покрытия с кратностью \( k \in \mathbb{N} \) или периодической функцией.
2. Целочисленные функции 🎯: переход от индикаторных функций к целочисленным, изучая уравнения свёртки \( f * g = h \).
Теоремы:
- 📌 Теорема 2 (однородный случай): Для дискретной абелевой группы \( G \) и целочисленной \( f \) с конечным носителем эквивалентны:
(i) Нетривиальное решение \( g \neq 0 \);
(ii) Периодическое решение \( g \neq 0 \);
(iii) Нулевой коэффициент Фурье для нетривиального характера конечного порядка.
- 🔍 Следствие 3: Условия (i)-(iii) алгоритмически разрешимы 🤖 благодаря методам Генри Манна и Ванды Шмелев.
- 📌 Теорема 4 (двумерный случай): Для \( G = \mathbb{Z}^2 \), периодической \( h \) и конечной \( f \), существование целочисленного решения \( g \) равносильно существованию периодического решения.
- 📌 Теорема 5 (индикаторные функции): Для \( G = \mathbb{Z}^2 \) аналогичный результат для индикаторных функций 🎯.
Сложности:
- Для Теоремы 5 алгоритмическая разрешимость доказана (метод Хао Вана), но для Теоремы 4 она остаётся открытой 🚧.
- В высоких размерностях (\( d \geq 3 \)) Теорема 5 неверна, а судьба Теоремы 4 неизвестна ❓.
Методы:
- Структурная теорема 🏗️: решения уравнений замощения выражаются как сумма однопериодических функций.
- Симметрии и конечные характеристики 🔄: анализ уравнений по модулю простых чисел.
- Рационализация коэффициентов 🧮: преобразование иррациональных полиномов в рациональные с сохранением свойств индикаторной функции.
Итог: Работа открывает новые горизонты в понимании периодичности и алгоритмической сложности задач замощения, но оставляет пространство для будущих исследований 🌐✨.