🚀 Многие задачи в анализе и смежных областях (комбинаторика, теоретическая информатика, УрЧП) связаны с изучением порядка роста или убывания величин, зависящих от асимптотических параметров (например, линейный, квадратичный, полиномиальный или экспоненциальный рост). Раньше такие скорости называли «порядками бесконечности» (как в книге Харди 1910 года), но сегодня этот термин редко используется.
🔑 Основной инструмент для работы с асимптотиками — асимптотические обозначения! Вот их суть (в гибридной версии Харди-Ландау):
1. O-нотация (𝕆): 𝑓 = O(𝑔), если 𝑓 ≤ C⋅𝑔 для некоторой константы C.
2. o-нотация (𝕠): 𝑓 = o(𝑔), если 𝑓 ≤ ε⋅𝑔 для любого ε > 0.
3. Θ-нотация (𝚯): 𝑓 ≍ 𝑔, если 𝑓 = O(𝑔) и 𝑔 = O(𝑓).
⚠️ Внимание! В аналитической теории чисел используют обозначения Виноградова с другим смыслом. Но здесь мы фокусируемся на нотации Харди-Ландау.
🌀 Асимптотические обозначения ведут себя как «тропическая алгебра» 🌴:
- Если 𝑓 ≪ 𝑔 и 𝑔 ≪ ℎ, то 𝑓 ≪ ℎ.
- 𝑓 ≍ 𝑔 означает их взаимную ограниченность.
- Для последовательностей верно: либо 𝑓 ≪ 𝑔, либо 𝑔 ≪ 𝑓, либо 𝑓 ≍ 𝑔 (после перехода к подпоследовательности).
🧠 Почему это не чистая алгебра?
Анализ часто опирается на «эпсилон-дельта» подход с кванторами (∀ ∃), что мешает применять алгебраические законы. Здесь помогает нестандартный анализ 🌌! Он скрывает кванторы через ультрафильтры, превращая анализ в более алгебраическую дисциплину.
🌠 Нестандартные порядки бесконечности образуют упорядоченное векторное пространство с «тропическими» операциями:
- Сложение: [𝑓] + [𝑔] = [𝑓⋅𝑔].
- Умножение на скаляр: [𝑓]^λ = [𝑓^λ].
- Порядок: [𝑓] ≤ [𝑔], если 𝑓 ≤ C⋅𝑔 при некоторой C.
💡 Это позволяет доказывать асимптотики алгебраически, но «цена» — сложность явного вычисления констант.
⚡ Лемма о полноте: Любая вложенная последовательность интервалов в нестандартных порядках имеет непустое пересечение. Это свойство похоже на полноту ℝ, но работает и для открытых интервалов!
🛠️ Автоматизация проверки оценок:
В посте предложен прототип инструмента на Python для проверки асимптотических неравенств (например, слабого AM-GM). Пример кода:
“`python
assumptions.can_bound((a b c)(1/3), max(a, b, c))
“`
Он разбивает задачу на случаи и использует гипотезы для доказательства.
🔮 В будущем такие инструменты смогут работать с интегралами, нормами функций и даже интегрироваться с AI для генерации доказательств. Возможно подключение к SageMath или системам формальной верификации вроде Lean.
🌐 Коллаборация: Для развития нужны совместные усилия математиков и программистов. Цель — создание универсального «верификатора оценок» с поддержкой сложных выражений и выводом доказательств.