В предыдущей публикации я объяснил, как возникает фундаментальная проблема при попытке выполнить вращение Вика для спинора Вейля. Вращение Вика предполагает аналитическое продолжение в четырёхмерном комплексном пространстве-времени, которое в терминах спиноров описывается как $SL\otimes SR$ (или, эквивалентно, линейные отображения из $SR^*$ в $SL$).
На это действует комплексная спиновая группа $$Spin(4,\mathbf C)=SL(2,\mathbf C)L\times SL(2,\mathbf C)R$$, где два множителя действуют на два типа спиноров. Подгруппа, сохраняющая четырёхмерное пространство Минковского, — это $SL(2,\mathbf C)$, вложенная в…
В пространстве Минковского вам нужен только один вид спинора (и его комплексное сопряжение), но для аналитического продолжения в евклидово пространство требуется два независимых вида. Чтобы выполнить такое вращение Вика, необходимо ввести дираковские спиноры (пары спиноров Вейля с обеими хиральностями).
Моё предложение о «правостороннем пространстве-времени» заключается в том, что вы должны найти версию вращения Вика, которая использует только $S_R$, не продолжая аналитически спиноры в комплексном пространстве-времени обычным способом.
Использование твисторной теории
Один из способов сделать это — использовать твисторную теорию, где точка в пространстве-времени может быть идентифицирована со спиновым пространством $S_R$ в этой точке. Твисторное пространство — это пространство $T=\mathbf C^4$, с комплексной точкой пространства-времени $\mathbf C^2\subset T$.
Проективизация (выделение действия ненулевых комплексных чисел) проективного твисторного пространства — это $PT=\mathbf CP^3$, а точки пространства-времени — это $\mathbf CP^1$ внутри $PT$. В твисторной теории можно использовать комплексную структуру трёхмерного пространства $PT$, а не четырёхмерного пространства, параметризующего пространство $\mathbf CP^1$.
Чтобы понять, как пространство Минковского появляется в $PT$, можно начать с чего-то более простого, имеющего во многом ту же структуру, подумав о $\mathbf CP^1$ вместо $\mathbf CP^3$. $\mathbf CP^1$ — это пространство комплексных прямых через начало координат в $\mathbf C^2$, и на него транзитивно действует $SL(2,\mathbf C)$. Это версия сферы Римана, где $SL(2,\mathbf C)$ — группа конформных преобразований, действующих на сферу.
Подгруппы и представления
Единичная подгруппа $SU(2)$ — это вещественная форма $SL(2,\mathbf C)$ и также действует транзитивно на этой сфере. Можно построить конечномерные представления $SU(2)$ или $SL(2,\mathbf C)$ на пространствах голоморфных сечений голоморфных линейных расслоений на $\mathbf CP^1$ (Борель-Вейль) или на пространствах когомологий $H^1$ (Борель-Вейль-Ботт).
Если вместо этого посмотреть на другую вещественную форму, $SL(2,\mathbf R)=SU(1,1)$, то обнаружится, что она действует на $\mathbf CP^1$ с тремя орбитами: верхняя полусфера $\mathbf CP^1+$, нижняя полусфера $\mathbf CP^1-$ и экватор, который является их границей. Можно построить бесконечномерные дискретные унитарные представления $SU(1,1)$ на голоморфных сечениях голоморфных линейных расслоений над $\mathbf CP^1+$ или $\mathbf CP^1-$ (или на пространствах когомологий $H^1$).
Эти представления можно охарактеризовать их поведением на границе $S^1$, где можно сделать различные выборы функционального пространства, причём гиперфункции являются очень естественным выбором.
Преобразование Кэли связывает действие $SL(2,\mathbf R)$ на $\mathbf C=\mathbf R^2$ (с орбитами верхней/нижней полуплоскости и действительной числовой прямой) с действием $SU(1,1)$ на $\mathbf CP^1$, как описано выше. Действие $SL(2,\mathbf R)$ на верхней полуплоскости является центральным объектом в математике, особенно в теории чисел (которая вступает в игру через подгруппу $SL(2,\mathbf Z)$).
Один из способов понять, как пространство Минковского появляется в твисторной теории, — это обобщить описанную выше историю с $\mathbf CP^1$ до $\mathbf CP^3$. Теперь у нас есть $SL(4,\mathbf C)=Spin(4,2,\mathbf C)$ и его вещественная форма $SU(4)$, действующая транзитивно.
Аналог $SU(1,1)$ — это другая вещественная форма, $SU(2,2)=Spin(4,2)$, которая снова действует с тремя орбитами: $PT^+, PT^-$ и их общей границей, которую мы назовём $N$. $SU(2,2)=Spin(4,2)$ — это конформная группа пространства Минковского. В твисторной теории точки в пространстве Минковского — это $\mathbf CP^1$, которые лежат внутри $N$. $N$ можно отождествить физически с пространством световых лучей в пространстве Минковского, а топологически — с $S^3\times S^2$.
Пенроузовский преобразование идентифицирует решения безмассовых волновых уравнений в пространстве Минковского с представлениями $SU(2,2)$ на бесконечномерных пространствах голоморфных сечений голоморфных линейных расслоений над $PT^+$ или $PT^-$ (или пространствами когомологий $H^1$). Как и в случае с $\mathbf CP^1$, естественно охарактеризовать задействованные функциональные пространства как пространства гиперфункций на $N$.
Что касается вращения Вика в этом контексте? В твисторном случае происходит нечто такое, чего не было в случае с $\mathbf CP^1$. Можно выбрать идентификацию $\mathbf C^4$ с $\mathbf H^2$ и получить другую вещественную форму $Spin(4,2,\mathbf C)$, $SL(2,\mathbf H)=Spin(5,1)$, которая действует транзитивно на $PT$. Это группа конформных преобразований в евклидовом сигнатуре.
Используя идентификацию $\mathbf C^4=\mathbf H^2$, действуя на точку в $\mathbf CP^3$ путём кватернионного умножения, получаем расслоение $\mathbf CP^3$ над $S^4=\mathbf HP^1$ с волокном $\mathbf CP^1=S^2$. $S^4$ конформно компактифицировано евклидово пространство-время, причём его точки отождествляются с волокнами в $PT$.
С точки зрения того, что пространство Минковского — это все $\mathbf CP^1$ внутри $N$, вращение Вика начинается с выбора того, в какое евклидово пространство мы хотим перейти. Это будет характеризоваться $S^3\subset S^4$, где они пересекаются. $N$ будет расслоён над этим $S^3$ с помощью $S^2$: он больше не будет топологически $S^3\times S^2$, но будет явная геометрическая идентификация.
Сегодня у меня заканчивается время, и я хочу перейти к публикации в блоге, объясняющей, как всё это должно быть связано с физикой. Возможно, я добавлю ещё немного позже или просто продолжу завтра с новой темой.