В этой статье я расскажу о полях спиноров Вейля и объясню, почему вращение Вика для одного поля спиноров Вейля кажется невозможным. Это побуждает к предложению другого подхода к связи между спинорами и векторами, описанного лозунгом «пространство-время является правым».
Уравнения движения для правого поля спиноров Вейля записываются в пространстве энергии-импульса следующим образом:
- Определяем спиральность как собственное значение оператора.
- Положительная энергия $E$ описывает частицы, а спиральность равна $+\frac{1}{2}$.
- Отрицательная энергия $E$ описывает античастицы, а спиральность равна $-\frac{1}{2}$.
Квантовая теория представляет собой бесконечную совокупность комплексных гармонических осцилляторов (по одному для каждого значения $\mathbf p$), для каждого из которых квантование происходит так, как описано здесь, с операторами уничтожения и создания, удовлетворяющими антикоммутационным соотношениям.
Описание частиц материи в Стандартной модели строится на основе копий этой квантовой теории, причём взаимодействия определяются калибровочной симметрией (замена производных ковариантными производными), а массовые члены возникают из-за связи Юкавы с полем Хиггса.
Функция Вайтмана представляет собой матрицу размером два на два.
Описание проблемы
Это приводит к фундаментальному несоответствию с обычным пониманием свойств преобразования векторов и спиноров в пространстве Минковского и евклидовом пространстве-времени. Для подробного обсуждения обычной истории см. примечания здесь, но суть в том, что в пространстве Минковского $SL$ и $SR$ являются комплексно сопряжёнными представлениями. $SL$ — это просто имя для сопряжения $SR$, и требуется только один вид комплексного поля. Проблема в том, что в евклидовом пространстве-времени $SL$ не имеет отношения к $SR$, это другое представление.
Если вы хотите построить евклидову теорию поля спиноров с обычным соотношением векторов и спиноров, вам нужно добавить левостороннее поле спиноров. Конструкция ОС евклидовых полей делает это, а затем снова удваивает количество степеней свободы, чтобы получить самосопряжённую функцию Швингера.
Предложение
Предлагается решить эту проблему, используя только один вид поля спиноров Вейля ($SR$) для описания векторов пространства-времени (как отображений из $SR^*$ в сопряжённые с $SR$), как в пространстве Минковского, так и в евклидовом пространстве-времени. В пространстве Минковского ничего не меняется (кроме отказа от неподходящего обозначения $SL$), но евклидово пространство-время, в которое происходит вращение Вик, отличается от обычного. Только фактор $SU(2)R$ группы $Spin(4)$ действует нетривиально на векторы, а $SU(2)L$ действует тривиально, что доступно для использования в качестве калибровочной внутренней симметрии.
Четыре измерения являются особенными в том смысле, что это единственное измерение, в котором группа вращения распадается на две независимые части, а геометрия может рассматриваться как разлагающаяся на правые и левые части. В обычном формализме это используется в евклидовом пространстве-времени (при работе с самодуальными или антисамодуальными объектами), но в пространстве Минковского две части являются комплексно сопряжёнными и не могут быть разделены.
Я предлагаю другую точку зрения, в которой и пространство Минковского, и евклидово пространство-время видят только правую часть геометрии, а левая часть проявляется как внутренние степени свободы.
Пока я избегал говорить о твисторах, которые обеспечивают принципиально хиральный контекст для размышлений о последствиях этой точки зрения «пространство-время является правым». В теории твисторов точка в пространстве-времени тавтологически является тем же самым, что и пространство спиноров $SR$ в этой точке. $SL$ — это нечто другое. Я уеду на длинные выходные начиная с завтрашнего дня, но скоро напишу о твисторах в другой статье.