В недавнем посте «У каждой точки есть три ближайших соседа» я упомянул следующую гипотезу.
Гипотеза Карабегова. Любая конечная плоская конфигурация точек, в которой у каждой точки ровно три ближайших соседа, должна содержать не менее 16 точек.
Гипотезу предложил мой дорогой друг Александр Карабегов, с которым я познакомился в 1974 году. Подумать только, это было больше 50 лет назад! Как такое возможно?
После того как я опубликовал гипотезу, мы не смогли удержаться и не поработать над ней. Мы исследовали различные типы графов и нашли множество интересных определений, связанных с нашей задачей.
Графы единичного расстояния и спичечные графы
Граф единичного расстояния формируется из точек на плоскости путём соединения двух точек, когда расстояние между ними ровно 1. Спичечный граф — это граф единичного расстояния, который можно нарисовать на плоскости с рёбрами длиной 1, не пересекающимися друг с другом. Другими словами, это граф единичного расстояния, который ведёт себя «хорошо», будучи плоским. Представьте себе, как вы кладёте спички на стол: без наложений, без хаоса.
Разница наглядно представлена на рисунке: левый граф — это граф единичного расстояния, а правый — спичечный граф.
Пенни-графы
Пенни-граф соединяет две вершины тогда и только тогда, когда их расстояние является минимальным среди всех пар вершин. Название буквально: представьте, что вы размещаете одинаковые монетки в каждой вершине так, чтобы они не перекрывались. Две монетки соприкасаются ровно тогда, когда соответствующие вершины соединены ребром.
Пенни-граф — это особый вид спичечного графа: две вершины, которые не соединены, находятся на расстоянии, превышающем длину спички.
Наконец, 3-регулярный граф — это граф, в котором каждая вершина имеет степень 3. Три соседа. Не больше, не меньше. Их также называют кубическими графами. Неудивительно, что если вершины куба являются вершинами нашего графа, а рёбра куба — рёбрами нашего графа, мы получим 3-регулярный граф, так как каждая вершина инцидентна ровно трём рёбрам.
Удивительно, но такие графы не называются тетраэдровыми графами, хотя тетраэдр тоже имеет каждую вершину, инцидентную трём рёбрам. Но тетраэдровый граф особенный: это минимальный 3-регулярный пенни-граф.
Мы написали статью «Минимальная 3-регулярная пенни-граф», в которой доказали гипотезу. Гипотеза официально стала теоремой.
Теорема. Минимальный 3-регулярный пенни-граф имеет 16 вершин.
Как читать математическую статью
Каждый год, когда начинается программа PRIMES, я отправляю своим студентам письмо о том, как читать математическую статью. Студенты в моей группе — юниоры, только начинающие свои исследования. Они часто должны читать сложные математические статьи — часто это первые исследовательские статьи, с которыми они сталкиваются. В этом году я решил опубликовать своё письмо в интернете, на случай, если оно окажется полезным для других начинающих математиков.
Дорогие студенты PRIMES и PRIMES-USA!
Чтение математических статей может быть очень сложным и ошеломляющим. Я помню, как пытался понять каждое слово в своей первой исследовательской статье и надолго застрял на первом абзаце. Это была ошибка. Я сожалею, что никто никогда не учил меня читать математические статьи. Как в шутку говорится: «Есть только два вида математических книг: те, которые вы не можете прочитать дальше первой страницы, и те, которые вы не можете прочитать дальше первого предложения».
Математические статьи — это не рассказы. Они не предназначены для линейного чтения от начала до конца. В зависимости от вашей цели вы читаете разные части по-разному. Вот несколько примеров.
Цель: решить, читать ли статью.
Читать: аннотацию и части введения.
Цель: увидеть, что было достигнуто.
Читать: введение или найти и прочитать основные теоремы.
Цель: изучить метод, который может быть полезен.
Читать: найти соответствующий метод и сосредоточиться только на этом разделе.
Цель: получить общее представление о теме.
Читать: сначала понять структуру статьи. Затем попытаться уловить основные утверждения на высоком уровне.
Цель: освоить тему.
Читать: прочитать статью несколько раз, углубляясь с каждой итерацией. Старайтесь не зацикливаться на предложении; возможно, вы поймёте его с другой попытки.
Потенциальный список задач для каждой итерации: вы можете корректировать их и менять порядок в соответствии с вашими потребностями.
Первое чтение: понять структуру и общую картину.
Второе чтение: понять определения и основные понятия.
Третье чтение: понять основные утверждения и посмотреть на небольшие примеры.
Четвёртое чтение: понять идеи, лежащие в основе доказательств.
Пятое чтение: углубиться и начать читать цитируемые статьи.
Шестое чтение: попытаться воспроизвести доказательства.
Цель: проверить наличие благодарностей.
Читать: благодарности и цитирования.
Главное правило — помнить о своей цели при чтении статьи. Если у вас нет конкретной цели, попросите своего наставника предложить упражнения или вопросы, которые помогут вам в чтении. Старайтесь не расстраиваться, если вы не понимаете всё: шутка в начале этого эссе подразумевает, что у всех возникают трудности с пониманием математических статей.
Таня