Я давно пытаюсь сформулировать новые идеи о вращении Вика, но постоянно застреваю, понимая, что не до конца разобрался в происходящем. Чтобы немного отвлечься, решил, что будет полезно написать здесь, в блоге, более неформальные вещи о том, что я понимаю.
Хочу рассказать о двух важных работах Конрада Остервальдера и Роберта Шредера. Первая — «Аксиомы для евклидовых функций Грина», опубликованная в журнале «Communications in Mathematical Physics» в 1973 году. Буду называть её «статьёй о реконструкции ОС». Вторая — «Евклидовы фермионные поля и формула Фейнмана — Каца для бозон-фермионных моделей», опубликованная в «Helvetica Physica Acta» в 1973 году, буду называть её «статьёй о евклидовых фермионных полях».
Конрад Остервальдер был преподавателем на моём курсе Math 55 в Гарварде, в первом семестре там, осенью 1975 года. Недавно я узнал, что он скончался в декабре прошлого года. В то время Остервальдер был доцентом по математической физике в Гарварде, и курс Math 55, который он вёл, почти полностью следовал главам 0–4 учебника Лоомиса и Штернберга «Продвинутый анализ», который в то время был стандартным учебником для курса.
В последний семестр в Гарварде (весна 1979 года) я посещал курс Артура Джеффа по основам КТП. В рамках курса нужно было выбрать соответствующую статью и написать о ней. Я выбрал статью Остервальдера и Шредера о евклидовых фермионных полях. Она меня тогда озадачила, и оставалась такой на протяжении многих лет. В одном из следующих постов в блоге я планирую рассказать об этой статье, а сейчас сосредоточусь на статье о реконструкции ОС.
Для забавных комментариев по поводу статьи о реконструкции ОС см. выступление Славы Рычкова «Теорема Остервальдера — Шредера для КТП» на этой встрече в 2019 году. Он говорит: «Эти статьи опубликованы в журнале „Communications in Mathematical Physics“. Если вы начнёте читать эти статьи, у вас сразу заболит голова. Первые десять страниц — это только обозначения. Затем нужно пройти через теорему, лемму, лемму, теорему, теорему Хилле — Йосида и тому подобное».
Фон
История евклидовой или квантовой теории поля в мнимом времени начинается с работы Джулиана Швингера 1958 года «О евклидовой структуре релятивистской теории поля». Одним из подходов к квантовой теории поля является рассмотрение вакуумных средних значений полевых операторов, функций Вайтмана. Швингер предложил определять квантовые теории поля через аналитическое продолжение функций Вайтмана, вычисленных при мнимом времени (теперь они известны как функции Швингера). Это хорошо согласуется с современной точкой зрения, что КТП должны определяться интегралами по траекториям, поскольку только для интегралов по мнимому времени можно надеяться получить что-то, что можно сделать строгим, а не чисто формальным объектом.
Швингер прекрасно понимал, что если попытаться определить КТП как набор функций Швингера, то не хватает способа определить, когда они соответствуют физической теории в реальном времени. В ходе обсуждения его презентации на ICHEP 1958 года он сказал: «Вопрос о том, насколько далеко можно пойти назад, остаётся без ответа, то есть если начать с произвольной евклидовой теории и спросить: когда вы получите разумную теорию Лоренца? Этого я не знаю. Развитие шло только в одном направлении: возможность будущего прогресса исходит из изучения обратного направления, и это совершенно открыто».
Статья о реконструкции ОС была основана на новой важной идее о том, как распознать функцию Швингера, соответствующую физической теории в реальном времени, — условие «положительности отражения». Джефф рассказывает здесь, как это произошло.
Важным свойством квантовой теории является наличие у неё эрмитова скалярного произведения на состояниях, причём состояния имеют положительную норму в этом скалярном произведении. Эрмитова природа скалярного произведения двух векторов состояний включает комплексное сопряжение одного из них. Для функций времени это просто комплексное сопряжение значения функции. Когда вы работаете с комплексным временем $z=t+i\tau$ вместо реального времени, комплексное сопряжение переводит $z=t+i\tau$ в $\overline z=t-i\tau$. Это отражение $\tau \rightarrow -\tau$ на оси мнимого времени, иногда называемое отражением Остервальдера — Шредера.
Кстати, это, по-моему, первое указание на возможность того, что я пытался понять: преобразования пространства-времени в евклидовом пространстве-времени превращаются во внутренние симметрии в пространстве-времени Минковского (здесь отражение во времени превращается в точечное комплексное сопряжение).
Остервальдер и Шредер в статье о реконструкции ОС предоставили теорему, в которой говорится, когда функции Швингера происходят из функций Вайтмана. Как отмечает Рычков, эта статья очень сложна для понимания. Потратив на неё много времени, я понял одну причину, по которой всё это сложно. Это то, что удерживало меня от понимания вращения Вика. Вполне возможно, что я что-то упускаю, и, возможно, кто-нибудь объяснит мне, что именно.
Аналитическое продолжение с реального времени на мнимое относительно просто, потому что это пример того, что математики называют теоремой Палея — Винера. Если у вас есть функция $f(t)$ с преобразованием Фурье $\widetilde f(E)$, которая поддерживается только при положительной энергии, вы можете сделать обратное преобразование Фурье для комплексных значений времени.
Проблема в том, что идти в обратном направлении гораздо сложнее. Если задана функция $f_S(\tau)$ (S означает «Швингер»), если вы попытаетесь аналитически продолжить, чтобы получить $f(t)$, сначала инвертируя преобразование Лапласа, чтобы получить $\widetilde f(E)$ (затем обратное Фурье, чтобы получить $f(t)$), возникнет проблема. Когда вы смотрите на формулу для обратного преобразования Лапласа, она в основном говорит: «Сначала аналитически продолжите до $f(t)$, затем выполните преобразование Фурье, чтобы получить $\widetilde f(E)$».
Аргумент в статье о реконструкции ОС сложен, отчасти потому, что они не могут напрямую сделать это обратное преобразование Лапласа. Вместо этого, задав $f_S(\tau)$, они определяют функцию $E$ с помощью преобразования Лапласа, но эта функция не равна $\widetilde f(E)$ (кто-нибудь знает о хорошей связи между ними?), хотя у неё есть свойства, которые они могут использовать, чтобы доказать свою теорему о реконструкции.
Оказалось, что доказательство в статье о реконструкции ОС было ошибочным. Их лемма 8.8 утверждала, что способ решения этой проблемы для одной переменной будет работать и для нескольких переменных, но это было неверно, вскоре был найден контрпример. Позже они написали вторую статью, которая исправляет проблему, но за счёт очень сложного аргумента и при условии определённого свойства функций Швингера.
В статье Рычкова, на которую есть ссылка выше, объясняется, что, когда он пытался понять точную связь между евклидовой и Минковски в конформной теории поля, он был потрясён, осознав, что теорема о реконструкции ОС неприменима, потому что не было жизнеспособного способа узнать, имеют ли евклидовы функции Швингера необходимое свойство.
На данный момент лучший способ попытаться понять статью о реконструкции ОС — это не читать её, а смотреть объяснения Рычкова (видео здесь и здесь или раздел 9 статьи с соавторами).
Аргумент реконструкции ОС — это впечатляющий и важный фрагмент математической физики, но его непроницаемость привела к тому, что большинство людей (включая меня на протяжении многих лет…) убеждены, что связь между квантовыми теориями поля Минковского и евклидовыми — это что-то простое и хорошо изученное. Это соответствует столь же прискорбному убеждению, что проблемы определения КТП с помощью интегралов по путям несерьёзны, а Минковский против евклидова — это не что иное, как разное разбрасывание множителей i в интеграле.
Эта история — лишь один аспект фундаментальных проблем понимания КТП, которые уходят гораздо глубже, чем отсутствие строгих доказательств. Уже к тому времени, когда я был студентом, стало ясно, что существует несоответствие между скалярными КТП, изучаемыми математическими физиками с помощью евклидовых методов, и теми, которые актуальны для реального мира. Кроме того, суть таких скалярных КТП заключается в том, что они существуют и нетривиальны только в двух и трёх измерениях пространства-времени, а в четырёх и более измерениях пространства-времени они должны быть тривиальными.
Стандартная модель КТП в основном построена на спинорных фермионных полях и калибровочных полях Янга — Миллса. Я уверен, что именно поэтому в 1979 году меня заинтересовала статья Остервальдера и Шредера о фермионных полях (подробнее об этом в другом посте в блоге). Попытки полностью понять калибровочные поля Янга — Миллса вскоре перешли к дискретизированной теории калибровок на решётке. В годы обучения в аспирантуре меня соблазнила простота чистой калибровочной теории Янга — Миллса в евклидовом пространстве-времени, которая по сути представляет собой геометрически красивую систему статистической механики, которую можно изучать с помощью методов статистической механики, включая простые расчёты Монте-Карло.
Этот опыт в сочетании с непониманием тонкости теоремы о реконструкции ОС убедил меня, что путь к пониманию КТП лежит через интегралы по путям в евклидовой теории пространства-времени, а вопрос о связи с физикой — это всего лишь вопрос аналитического продолжения в реальное время после решения теории.
Всё больше и больше я убеждаюсь, что это была ошибочная точка зрения. Лучшей отправной точкой может быть следующее. Фундаментальный аспект квантовой теории — это существование гамильтониана $H$ и унитарного оператора $U(t)=e^{-itH}$, который представляет собой перенос во времени и обеспечивает динамику теории. Суть вращения Вика заключается в том, что если вы думаете о времени как о комплексной переменной, положительность энергии означает, что $U(t)$ — это только часть истории, граничное значение представления $U(z)=e^{-izH}$ голоморфного представления голоморфной полугруппы (комплексные временные трансляции с одним знаком мнимого времени). Фундаментальная квантовая теория поля реального мира, вероятно, должна рассматриваться не как статистическая система, а как имеющая голоморфный аспект, включающий гораздо более глубокую математику.