Джони Теравайнен и я разместили на arXiv мою статью «Количественные корреляции и некоторые задачи о простых множителях последовательных целых чисел». В этой статье применяются инструменты современной аналитической теории чисел — в частности, решето Мейнарда и недавние оценки корреляций для ограниченных мультипликативных функций Пилате — для решения (частично или полностью) некоторых старых задач Эрдеша, Штрауса, Померанса, Сёрки и Хильдебранда, в основном связанных с функцией подсчёта простых чисел.
Законы Харди — Рамануджана и Эрдеша — Каца говорят нам, что асимптотически для должно вести себя как гауссовская случайная величина со средним и дисперсией, близкими к ; но вопрос о совместном распределении последовательных значений, таких как, всё ещё изучен лишь частично. Помимо некоторых корреляций более низкого порядка при малых простых числах (возникающих из таких наблюдений, как тот факт, что ровно одно из будет делиться на ), ожидается, что такие последовательные значения ведут себя как независимые случайные величины.
Недавно Чарамарас и Рихтер показали, что любые ограниченные наблюдаемые будут асимптотически декоррелированы в пределе, если выполнить логарифмическое статистическое усреднение. Грубо говоря, это подтверждает эвристику независимости в масштабе стандартного отклонения, но не решает более детальные вопросы, такие как точная оценка вероятности события.
Наш первый результат
Наш первый результат, отвечая на вопрос Эрдеша, показывает, что существует бесконечно много, для которых выполняется граница. Для таких границ уже можно ожидать (хотя и не полностью универсально) из закона Харди — Рамануджана; основная трудность связана с короткими сдвигами. Если бы нужно было продемонстрировать этот тип границы только для ограниченного числа, то такой результат вполне укладывается в стандартные методы теории решета, которые могут сделать любое ограниченное число сдвигов «почти простым» в том смысле, что становится ограниченным.
Таким образом, проблема заключается в том, что «размерность решета» растёт (медленно) с. Когда Эрдеш и Грэм писали об этой проблеме в 1980 году, они говорили: «Мы просто слишком мало знаем о решетах, чтобы справиться с таким вопросом («мы» здесь означает не только нас, но и коллективную мудрость (?) нашей бедной, борющейся человеческой расы)».
Однако с появлением решета Мейнарда (также иногда называемого решетом Мейнарда — Тао) оказывается возможным просеивать условия для всех одновременно (грубо говоря, отсеивая любые, для которых делится на простое число для большого), а затем выполняя моментные вычисления, аналогичные стандартному доказательству (из-за Турана) закона Харди — Рамануджана, но взвешенные решетом Мейнарда.
Результаты
Первый результат устанавливает, что величина, установленная Платтом в предположении гипотезы о простых кортежах, но мы можем установить этот результат без дополнительных условий. Двоичное разложение этого числа, конечно, тесно связано с распределением, но, учитывая закон Харди — Рамануджана, цифра этого числа зависит примерно от близлежащих значений, что слишком много для текущей технологии. Однако можно провести некоторые вычисления типа «нормы Гауэрса», чтобы разделить вещи до такой степени, что информации о попарных корреляциях будет достаточно.
Второй результат касается асимптотического поведения плотности. Эвристические аргументы привели Эрдеша, Померанса и Сёрки к предположению, что эта величина асимптотически. Они смогли установить верхнюю границу, в то время как Хильдебранд получил нижнюю границу. Здесь мы получаем асимптотику почти для всех (ограничение здесь стандартное, которое заключается в том, что текущая технология оценки парных корреляций либо требует логарифмического усреднения, либо ограничена почти всеми шкалами, а не всеми шкалами). Грубо говоря, идея состоит в том, чтобы использовать круговой метод для переписать вышеуказанную плотность в терминах выражений, использовать оценки Пилате для обработки минорной дуги, и преобразовать вклад главной дуги обратно в физическое пространство (в котором и теперь разрешено отличаться на большую величину) и использовать более традиционные методы теории решета для оценки результата.