Однажды я написал эссе для блога под названием «Семь, туз, дама, двойка, восьмёрка, тройка, валет, четвёрка, девятка, пятёрка, король, шестёрка, десятка». Оно было посвящено «магическому» трюку с картами.
Представьте: возьмите колоду карт рубашкой вверх. Переместите верхнюю карту вниз, затем выложите новую верхнюю карту лицевой стороной вверх на стол. Повторите этот процесс, пока все карты не будут разложены. И — абракадабра — карты выложены в идеальном порядке!
Если вы хотите выполнить этот трюк с одной мастью, заголовок того поста подскажет вам, как разложить колоду.
Осенью 2023 года я предложил этот трюк в качестве домашнего задания своим студентам, участвующим в STEP. Результат? Мы написали 40-страничную работу «Математика раздачи карт», которая теперь доступна на arXiv.
В версии для домашнего задания колода состояла из карт одной масти, но мы обобщили её до колоды из N карт с номерами от 1 до N. Процесс раздачи, который мы изучали, называется раздачей «под-вниз»: вы чередуете между выкладыванием одной карты под колоду и следующей картой лицевой стороной вверх. Это очень похоже на раздачу «вниз-под», где вы начинаете с раздачи первой карты. Эти два шаблона часто, неудивительно, называют австралийской раздачей.
Раздача «под-вниз» оказывается математически эквивалентной задаче Иосифа. В этой знаменитой древней задаче люди расположены по кругу, и вы последовательно пропускаете одного человека и убиваете следующего (что гораздо мрачнее, чем игра с картами). Классический вопрос звучит так: если есть N человек, кто выживет? В контексте наших карт это соответствует вопросу о том, где окажется карта с номером N в подготовленной колоде.
В более общем случае задача Иосифа может задавать следующий вопрос: если мы пронумеруем людей в круге от 1 до N, в каком порядке они будут устранены? В нашем исследовании мы перевернули вопрос: как нам пронумеровать людей в круге, чтобы они были устранены в порядке возрастания?
Естественно, мы не могли остановиться на этом. Мы изучили несколько других схем раздачи, обнаружили восхитительные математические свойства и попутно добавили 44 новые последовательности в OEIS. Самое забавное? Мы также изобрели несколько совершенно новых карточных трюков.