Вступление
В 2008 году Чейн Гудман-Штраус и Хайди Бургель вместе с покойным Джоном Конвеем написали книгу под названием «Симметрии вещей», в которой рассматривались различные темы, связанные с математической симметрией и симметрией геометрических объектов.
Теперь у первых двух авторов вышла новая книга — «Волшебная теорема», которая должна выйти в свет на этой неделе. Мы поговорили с Хайди и Чейном о том, откуда взялась эта книга и о чём она.
Что такое «Волшебная теорема»?
«Волшебная теорема» — это теорема Джона Конвея, которая классифицирует возможности для симметричных узоров на плоскости с помощью простого арифметического подсчёта. Существует «стоимость» различных характеристик симметричного узора, и теорема утверждает, что симметричные узоры на плоскости — это те, которые стоят ровно 2 единицы.
Это большое дело: как и многие другие, Конвей искал простой способ понять плоские узоры. Предыдущие подходы к перечислению этих узоров были довольно сложными, с множеством вариантов для рассмотрения и без реальной надежды на общее понимание. Всё изменилось в середине 1980-х, когда Джон узнал о классификации типов симметрии Билла Тёрстона.
По сути, Тёрстон использовал топологию для ограничения геометрии. Каждый узор связан с особой поверхностью — орбифолдом узора, который создаётся путём объявления, что точки, которые кажутся одинаковыми в узоре, должны быть объединены и отныне считаться одной точкой. Например, две стороны узора в форме сердца ниже слева идентичны (по крайней мере, в идеале). Сложив сердце пополам и объединив идентичные точки, мы получим полусердечный рисунок справа, орбифолд узора в форме сердца. У этого орбифолда есть вновь сформированная граница, соответствующая зеркальной линии в центре сердца. Именно эту границу, особенность топологии поверхности орбифолда, Конвей записывает с помощью большой звёздочки (\(\large \ast\)) в своей нотации орбифолда.
Сила этого подхода заключается в хорошо понятной классификации и геометризации поверхностей — топология и геометрия поверхности тесно связаны, каждая ограничивает другую. Существует лишь несколько вариантов для поверхности с плоской геометрией, которую мы видим на плоскости, и именно их подсчитывает Волшебная теорема. У топологических строительных блоков орбифолда есть «стоимость», и для плоского узора общая стоимость должна составлять ровно 2 единицы. Существует несколько способов (17 точно), как это работает. Это типы симметрии плоскости, названные и организованные, с чётким доказательством того, что они таковы.
Но это лишь часть большого семейства Волшебных теорем! Симметричные узоры на сфере — это те, у которых стоимость меньше 2 единиц. Более высокие общие затраты дают узоры на гиперболической плоскости. Даже фризовые узоры вписываются в эту схему. Единство этого подхода действительно очень радует.
На сайте есть картинка, которая нам нравится: три тканых узора в геометриях сферы, плоскости и гиперболической плоскости. Хотя эти узоры находятся в разных геометриях, вблизи они выглядят практически одинаково, треугольники, расположенные вокруг отверстий. Как мы увидим в книге, орбифолды этих узоров в основном одинаковы, меняется только один параметр (5,6,7).
После того как Джон узнал об орбифолдах Тёрстона, он разработал нотацию орбифолда и начал продавать её миру. Два молодых аспиранта, Хайди и Чейн, попали под её влияние и тоже взялись за дело, создавая собственные материалы и учебные программы по этому вопросу для учителей, информационно-просветительской работы и собственных курсов.
Всё это шло своим чередом, и в конце 1999 года Хайди предложила Джону и Чейну написать то, что впоследствии стало «Симметриями вещей», исчерпывающим отчётом о нотации орбифолда Конвея и Волшебной теореме. В первом издании мы были жадными. У нас была идея, что «Симметрии вещей» будут предназначены для широкой аудитории, но мы не могли удержаться от того, чтобы не включить в них множество других материалов о цветовых симметриях, технических приложениях теории орбифолдов, симметриях пространства и многом другом. Книга росла и росла, пока мы наконец не решили её остановить.
Что нового в «Волшебной теореме»?
«Волшебная теорема» — это действительно отдельная книга, призванная охватить как можно больше людей. Это часть первая «Симметрий вещей», почти удвоенная по объёму, с десятками практических заданий, реальными примерами и многочисленными побочными обсуждениями. Она ещё более тщательно проиллюстрирована, и мы можем продемонстрировать замечательные новые работы, созданные художниками после выхода «Симметрий вещей». Мы надеемся, что каждая страница будет настоящим удовольствием.
Вместе с десятками дополнительных практических учебных материалов, которые размещены на сайте книги themagictheorem.com. Чейн взволнован тем, что наконец-то выпускает своё программное обеспечение Kaleidesign, которое позволит пользователям создавать симметричные изображения, подобные тем, что в книге, но из своих собственных фотографий или даже с веб-камеры.
И что немаловажно, «Волшебную теорему» можно купить по довольно выгодной цене, по крайней мере в мягкой обложке.
Почему вы захотели написать эту новую книгу?
«Симметрии вещей» изначально были призваны познакомить широкую аудиторию с теорией орбифолдов, продемонстрировать её силу и стимулировать её применение, но в итоге она содержала гораздо больше. Эта книга призвана более широко поделиться самой Волшебной теоремой, приглашая любого практикующего симметрию — дизайнеров тканей, математиков-художников, химиков, заинтересованных людей — использовать эти методы.
Для кого предназначена книга и кому бы вы хотели, чтобы её прочитали?
Книга неформальна и открыта. Мы хотели бы, чтобы любой, кто интересуется симметрией, независимо от направления, взаимодействовал с книгой и узнал, как использовать Волшебную теорему, и даже углубился в теорию орбифолда, лежащую в её основе. Мы в основном ориентировались на детей и людей, которые работают с детьми. В книге много всего, что можно попробовать!
Мы делаем долгосрочную ставку. Через пятьдесят лет, со всем смирением и без преувеличения, мы надеемся, что это стало стандартным подходом. Мы продвигаемся вбок: этот материал глубок, но в то же время доступен, и мы можем распространять новости через более широкое математическое сообщество, например, через читателей The Aperiodical.
Как разные авторы вносят свой вклад в создание книги?
Эта книга была сформирована отсутствием её старшего автора. Текст в «Волшебной теореме» в основном взят из «Симметрий вещей», в основном написан Джоном. Чейн подготовил новый материал и большинство исправлений, а Хайди сыграла важную роль в первоначальной вёрстке и в редакционном процессе, обеспечивая соответствие тона и уровня материала для широкого восприятия.
Как люди могут узнать больше и приобрести копию?
Посетите themagictheorem.com, чтобы узнать больше о книге, бесплатных практических занятиях и многом другом. Книга в настоящее время доступна для предварительного заказа на веб-сайте Routledge и скоро появится «на полках» крупных книготорговцев.