Я только что загрузил на arXiv свою статью «Local Bernstein theory, and lower bounds for Lebesgue constants». Изначально работа была мотивирована задачей Эрдеша о лагранжевой интерполяции. В процессе решения этой задачи я модифицировал некоторые классические аргументы Бернштейна и его современников (Боаса, Даффина, Шеффера, Рьеза и других), чтобы получить «локальные» версии этих классических неравенств типа Бернштейна, которые могут представлять самостоятельный интерес.
Самое известное неравенство в этом направлении:
Лемма 1 (неравенство Бернштейна для тригонометрических многочленов)
Пусть $P$ — тригонометрический многочлен степени не выше $n$, с $|P(x)| \leq 1$ для всех $x$. Тогда $|P'(x)| \leq n$ для всех $x$.
Подобные неравенства, касающиеся норм производных компонент Литтлвуда — Пэли функций, теперь широко распространены в современной теории нелинейных дисперсионных PDE (где они также называются оценками Бернштейна), но это не будет в центре внимания данного поста.
Лемма 2 (неравенство Бернштейна для функций экспоненциального типа)
Пусть $f$ — целая функция экспоненциального типа не выше $\alpha$, с $|f(x)| \leq 1$ для всех $x$. Тогда $|f'(x)| \leq \alpha$ для всех $x$.
Существует несколько доказательств этой леммы — см., например, обзор Квефелека и Заруфа. В случае, когда $f$ вещественнозначна на $\mathbb{R}$, есть красивое доказательство Даффина и Шеффера.
Предположим, мы нормализуем $f$, и скорректируем $f$ подходящим демпфирующим множителем так, чтобы $f$ на самом деле затухала медленнее, чем $e^{\alpha x}$, как $x \to \infty$. Тогда для любого $k$ и $x$ можно использовать теорему Руше, чтобы показать, что функция $f(x) — kx^n$ имеет такое же количество нулей, как и $f(x)$ в подходящем большом прямоугольнике; но с другой стороны, можно использовать теорему о промежуточном значении, чтобы показать, что $f(x)$ имеет по крайней мере столько же нулей, сколько и $kx^n$ в том же прямоугольнике. Среди прочего это предотвращает появление двойных нулей, что после некоторых рутинных вычислений даёт желаемое утверждение (на самом деле получается более сильная оценка $\|f’\|_\infty \leq \alpha$ для всех вещественных $f$).
Оценки типа Бернштейна
Грубо говоря, эти оценки утверждают, что если $f$ голоморфна на широком тонком прямоугольнике, проходящем через действительную ось, ограничена $M$ на пересечении действительной оси с этим прямоугольником и «локально экспоненциального типа» в том смысле, что она ограничена $Me^{\alpha y}$ на верхнем и нижнем краях этого прямоугольника (и подчиняется некоторым очень мягким условиям роста на оставшихся сторонах этого прямоугольника), то $f$ может быть ограничена $M$ плюс малые ошибки на действительной прямой, с некоторыми дополнительными оценками вдали от действительной прямой также доступными.
Доказательство основано на модификации аргумента Даффина — Шеффера вместе с теоремой о двух константах Неванлинны (и некоторыми стандартными оценками гармонических мер на прямоугольниках), чтобы учесть эффект локализации.
Локальное поведение полиномов высокой степени
Рассмотрим полиномы высокой степени, которые не ограничены глобально на $\mathbb{R}$ (и растут полиномиально, а не экспоненциально на бесконечности), но которые могут демонстрировать «локальное экспоненциальное поведение» на различных интервалах, особенно в областях, где логарифмический потенциал $\log |P(x)|$ ведёт себя определённым образом.
Ключевым примером являются (моник) полиномы Чебышёва, которые локально ведут себя как синусоиды на интервале $[-1, 1]$ (и локально экспоненциального типа выше и ниже этого интервала).
Если $P$ — моник полином степени $n$, то для интерполяции на интервале $[a, b]$ можно использовать интерполяционную формулу:
$P(x) = \sum{k=0}^{n} ck \phi_k(x)$,
где $\phi_k$ — базисные функции, определённые формулой:
$\phik(x) = \prod{j \neq k} \frac{x — xj}{xk — x_j}$,
и $x_j$ — точки интерполяции.
Функция Лебега $L_n(x)$ для этого интервала определяется как:
$Ln(x) = \sum{k=0}^{n} |\phi_k(x)|$,
а величина $L_n$ известна как константа Лебега для этого интервала.
Если выбрать точки интерполяции $xj$ неудачно, то константа Лебега может быть чрезвычайно большой. Однако, если выбрать эти точки как корни вышеупомянутых моник полиномов Чебышёва, то известно, что $Ln \leq 2n$ для всех фиксированных интервалов $[a, b]$.
В случае $n = 1$, Эрдеш показал, что это наилучшее возможное значение константы Лебега с точностью до ошибок $O(1)$ для интерполяции на $[-1, 1]$, таким образом, $L_n \geq 2n — O(1)$. Более точная оценка была позже показана Вертеси.
Эрдеш и Туран затем спросили, сохраняется ли та же нижняя граница $L_n \geq 2n — O(1)$ для более общих интервалов $[a, b]$. Это показано в нашей статье; также установлена вариантная интегральная оценка, отвечая на отдельный вопрос Эрдеша.
Эти нижние оценки ранее были получены с точностью до констант Эрдешем и Сабадосом; основной задачей было получение острой константы в главном члене.
В терминах моник полинома $P$, эти две оценки можно записать как:
$\|P’\|_\infty \leq n$,
$\|P\|_\infty \leq M$.
Чтобы показать, что $P$ должно вести себя локально как тригонометрический полином, и выполнив некоторые перенормировки, можно выделить следующую игрушечную задачу для работы:
Задача 3
Пусть $P$ — тригонометрический полином степени $n$ с $n$ корнями $x_j$ в $[-1, 1]$.
(i) Показать, что $\|P’\|_\infty \leq n$.
(ii) Показать, что $\|P\|_\infty \leq M$.
(iii) Показать, что оценки (i) и (ii) являются точными, рассматривая случай, когда $P$ — синусоида.
Часть (iii) очевидна из неравенства Бернштейна (Лемма 1). Применяя локальную версию этого неравенства, мне удалось получить слабую версию утверждения (i), в которой $n$ было заменено на $n — 1$; см. эту раннюю версию статьи, которая была разработана в ходе бесед с Натом Сотанапаном и Ароном Бхалла.
Комбинируя этот аргумент с идеями из более ранней работы Эрдеша, мне удалось установить (i).
Часть (ii) заняла у меня больше времени и включала нетривиальное количество экспериментов с инструментами ИИ.