В последних публикациях мы обсуждали технические проблемы, связанные с традиционным пониманием того, как работают симметрии пространства-времени и вращение Вика в Стандартной модели. Эти публикации были написаны отчасти потому, что я считаю, что эти проблемы заслуживают более широкой известности, отчасти потому, что они мотивируют иной взгляд на симметрии пространства-времени, который не имеет этих проблем.
Такой альтернативной точкой зрения является теория твисторов Пенроуза, дополненная рассмотрением проблемы вращения Вика, что не было освещено в литературе о твисторах.
В этой публикации я хотел бы кратко изложить идеи о твисторах и объединении, которые я обдумывал в течение нескольких лет. Я медленно продвигаюсь к лучшему пониманию деталей того, как это работает, но ещё многое предстоит сделать. По мере продвижения я становился всё более оптимистичным, что это имеет смысл и является очень плодотворным направлением исследований. Меня также глубоко поражает красота этой концепции и её глубокие связи с фундаментальными математическими идеями.
В наше время аргумент Дирака о том, что «если работать с точки зрения достижения красоты в уравнениях и иметь действительно здравое понимание, то можно быть уверенным в прогрессе», стал весьма непопулярным (из-за людей, которые продвигают некрасивую и непоследовательную теорию с одиннадцатимерным пространством, называя её красивой или «элегантной»). В условиях отсутствия намёков со стороны экспериментов это может быть нашей единственной надеждой.
Точка зрения твистора идеально соответствует лозунгу «пространство-время является правосторонним». Она по своей сути хиральна, что Пенроуз считал проблемой («проблемой гугли»), поскольку он хотел гравитацию, инвариантную относительно чётности, но это кажется мне достоинством.
Основные понятия
Фундаментальная структура пространства-времени — это комплексное трёхмерное пространство $PT$, которое разбивается на две части $PT^+$ и $PT^-$, с общей пятимерной вещественной границей $N$. Пространство-время Минковского определяется через $N$ (все $\mathbf CP^1$ внутри $N$).
Зависимость от пространства-времени Минковского (в форме $N$) разбивается на части, голоморфные в $PT^+$ и голоморфные в $PT^-$ (с гиперфункциями граничных данных на $N$).
Как обсуждалось в предыдущей публикации, можно рассматривать $PT$ как стандартное $\mathbf CP^3$ с действием $SU(2,2)$. Это даёт обобщение пространства-времени Минковского с более крупной группой симметрии — конформной группой, заменяющей группу Пуанкаре. Элементарные частицы соответствуют представлениям этой группы.
Чтобы получить теорию гравитации, нужно отказаться от этой глобальной симметрии и подумать о голоморфной теории $\mathbf CP^1$, встроенных в более общий комплексный трёхмерный объект. Я не буду здесь вдаваться в вопрос о том, как получить квантовую гравитацию таким образом, но я думаю, что это более многообещающая отправная точка, чем любые из ныне популярных.
В квантовой механике «вращение Вика» — это то, что происходит, когда вы решаете изучить что-то голоморфное в верхней полуплоскости комплексного временного плана, не рассматривая его гиперфункциональные граничные значения на оси реального времени, а ограничиваясь положительной мнимой осью и изучая там вещественно-аналитическое ограничение.
Аналогично, «вращение Вика» в теории твисторов — это то, что происходит, когда вы выбираете расслоение $PT$ по $\mathbf CP^1$ таким образом, чтобы получить мнимое временное направление (направление, нормальное к трёхмерному семейству волокон расслоения, ограниченному $N$).
Изменение точки зрения
Недавно моя точка зрения на всё это немного изменилась. Я начал с мысли, что в качестве фундаментального нужно взять евклидову картину пространства-времени твистора (таким образом, «объединение евклидовых твисторов»), где $PT$ — это пространство комплексных структур на касательных пространствах четырёхмерного реального пространства-времени. Затем пространство-время Минковского — это производный объект, который вы получаете, выбрав мнимое временное направление и выполнив вращение Вика.
Недавно я обнаружил, что полезно думать о твисторной точке зрения Минковского, изложенной выше, как о фундаментальной, с «вращением Вика», которое происходит, когда вы решаете, что не хотите иметь дело напрямую с гиперфункциональными граничными значениями, а скорее выберете произвольное направление, нормальное к границе, и посмотрите на вещественно-аналитические значения, ограниченные координатой в этом направлении.
С этой второй точки зрения, когда вы выполняете вращение Вика, вы делаете что-то вроде выбора калибровки. Точка зрения твистора рассматривает локальные симметрии $SL(2,\mathbf C)R$ и $SL(2,\mathbf C)L$ очень по-разному. $SL(2,\mathbf C)R$ действует на $\mathbf CP^1$, которые описывают точки. $SL(2,\mathbf C)L$ локально действует на касательном пространстве к пространству, параметризующему $\mathbf CP^1$.
Чтобы получить Стандартную модель, используя эти идеи, нужно разработать последовательный формализм, основанный на вышесказанном, который выглядел бы как стандартная электрослабая теория с Хиггсом, если бы она была записана в терминах обычного описания пространства-времени. Я пока не знаю, как это сделать, но не очевидно, что что-то подобное невозможно.
Часть твисторной картины, как объяснялось в предыдущей публикации, всегда заключалась в том, что можно понять решения уравнения Вейля в терминах сечений голоморфного линейного расслоения над $PT^+$ («преобразование Пенроуза»). Чтобы понять калибровочные поля, удовлетворяющие уравнению самодуальности, можно использовать голоморфные векторные расслоения над $PT^+$ («соответствие Пенроуза-Уорда», хотя это несколько отличается).
Эти расслоения включают касательное расслоение, на котором $SL(2,\mathbf C)R$ будет действовать вдоль волокон, а $SU(2)L$ будет действовать, как описано выше (подробности ещё предстоит уточнить…). Над $\mathbf CP^3$ есть каноническое линейное расслоение и трёхмерное комплексное частное расслоение с локальной симметрией $U(1)\times U(3)$. То, что вы находитесь на $\mathbf CP^3$, означает, что вы исключили $U(1)$, так что получили Стандартную модель $U(1)\times SU(3)$.
Массовые поля будут описаны в терминах голоморфных сечений этих голоморфных расслоений над $PT^+$. Их связи с калибровочными полями будут описаны, по крайней мере в самодвойственном случае, голоморфной структурой расслоений. У меня нет проработанных деталей, но кажется, что вы можете, возможно, записать всё это, используя что-то вроде оператора Долбеау на $PT^+$ для этих различных голоморфных расслоений. Или, возможно, вам следует рассмотреть оператор Дирака вместо оператора Долбеау? Как появляются поколения?
Вышеизложенное должно дать некоторое представление о том, о чём я думал. Предстоит проделать огромный объём сложной работы по переформулировке традиционных представлений о квантовой теории поля в последовательном голоморфном формализме, реализующем вышеуказанную общую картину.
Лично я считаю, что всё это гораздо более перспективно и интересно, чем ныне популярные, но умирающие исследовательские программы, которые пытаются улучшить Стандартную модель и квантовать гравитацию. Я буду продолжать работать над проектом по получению более подробной информации, когда пойму её, но это идёт медленно, и очень неясно, какие части писать, поскольку, честно говоря, почти никто, похоже, не заинтересован в этом.