Известно, что при попытке осуществить виковскую ротацию в квантовой теории поля со спинорными полями возникают проблемы, впервые отмеченные в ранних работах Швингера по этому вопросу.
Здесь я попытаюсь кратко изложить предложение Остервальдера и Шрадера 1972 года (см. здесь, здесь и здесь), которое является наиболее известным способом решения этой проблемы. За годы было предпринято множество других попыток решить эту проблему, и я собрал библиографию этих работ здесь. Многие из них я так и не смог полностью понять.
Я сосредоточусь на предложении Остервальдера и Шрадера, поскольку теперь я его понимаю (чего не понимал в 1984 году), и оно, по-видимому, лучше всего соответствует общепринятым представлениям по этому вопросу.
Первое указание на то, что происходит нечто странное, можно увидеть, если посмотреть на любой учебник по КТП, где обсуждается теория спинорных полей в стандартном формализме «дираковских спиноров», где спиноры принимают значения в $\mathbf C^4$. Хорошим примером является книга Пьера Рамона, где в главе 5 рассматривается этот вопрос как в пространстве Минковского, так и в евклидовом пространстве.
В евклидовом пространстве $\overline \psi = \psi^\dagger$, но в пространстве Минковского $\overline \psi = \psi^\dagger \gamma_0$ (дирак-адъюнкт).
В евклидовом пространстве спиновая группа — это $Spin(4) = SU(2)L \times SU(2)R$, $SL$ — спиновое представление $SU(2)L$, а $SR$ — спиновое представление $SU(2)R$. В пространстве Минковского (с сохранением ориентации времени) спиновая группа — это $Spin(3,1) = SL(2, \mathbf C)$, $SL$ — спиновое представление $SL(2, \mathbf C)$, а $SR$ — комплексное сопряжение спинового представления.
Остервальдер и Шрадер предлагают, что виковская ротация спинорных полей включает удвоение числа степеней свободы, отказ от дирак-адъюнкт-отношения и рассмотрение $\psi$ и $\overline\psi$ как независимых полей (которые они называют $\psi1$ и $\psi2$). Они показывают, что тогда можно провести тот же аргумент реконструкции ОС, как в их статье, посвящённой скалярным полям.
Оператор отражения ОС, который в скалярном случае как комплексно сопрягает поля, так и отражает их в мнимом времени, теперь также переставляет $\psi1$ и $\psi2$, а также имеет $\gamma0$-фактор, который переставляет $SL$ и $S_R$.
Это предложение делает то, что заявлено — реконструирует функции Вайтмана и пространство состояний обычной теории пространства-времени Минковского, но способ, которым это делается, несколько тревожит. Виковская ротация — это не просто вопрос размещения некоторых множителей $i$ в нужных местах, но включает значительное изменение числа степеней свободы теории при переходе от Минковского к евклидову.
Для скаляров ОС показали, что виковская ротация комплексного сопряжения удивительно также включает отражение в пространстве-времени. Для спиноров это становится ещё более сложной структурой, которую необходимо добавить к евклидовой теории для реконструкции.
Остервальдер-Шрадер и большинство более поздних авторов игнорируют то, что при виковской ротации спиноров возникает ещё более проблематичная вещь, на что указал Рамонд в своей книге: это не работает для поля вейлевского спинора.
Базовые строительные блоки полей материи в Стандартной модели — это двухкомпонентные спинорные поля, причём простейшим строительным блоком является теория хирального (скажем, правостороннего) безмассового вейлевского фермиона. Эта теория проста для записи, и на первый взгляд имеет простую виковскую ротацию, просто беря время как комплексное и действуя как для скаляров.
Но это наталкивается на фундаментальную проблему с тем, как изменяются свойства преобразования при пространственно-временных вращениях при переходе от Минковского к евклидову. Похоже, что если кто-то хочет описать безмассовое нейтрино одной хиральности в евклидовой КТП, необходимо учетверить число степеней свободы (сначала удвоить степени свободы, чтобы получить четырёхкомпонентные дираковские спиноры, а затем снова удвоить согласно Остервальдеру и Шрадеру).
Обсуждение деталей того, как пространственно-временные вращения изменяются при виковской ротации в обычном формализме, я оставлю на другой раз. Я изложил предложение о совершенно другом способе понимания этой проблемы в своей статье «Пространство-время является правосторонним».