Это связано с постулированием Остервальдера — Шредера, но является гораздо более элементарным. Я изложу некоторые основные факты о квантовом гармоническом осцилляторе и объясню, что меня беспокоит в связи с его отношением к постулированию Остервальдера — Шредера.
Каждый курс квантовой механики рассматривает квантовый гармонический осциллятор, обычно в картине Шрёдингера, где состояния являются функциями пространства и времени. Гамильтониан представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, для которого находят собственные функции и собственные значения. Подробнее об этом можно прочитать в главе 22 здесь.
Свободные квантовые теории поля — это просто бесконечные совокупности таких гармонических осцилляторов, но в квантовой теории поля (КТП) предпочтительно использовать картину Гейзенберга (картина Шрёдингера была бы очень неудобной). Для одиночного квантового гармонического осциллятора в картине Гейзенберга имеются два оператора $Q(t), P(t)$ с гамильтонианом.
Такие уравнения проще всего решать путём их комплексного представления (допуская не только вещественные, но и комплексные линейные комбинации решений). Используя комплексные линейные комбинации операторов, можно записать…
Эта система в некотором смысле является простейшей возможной квантовой системой и легко расширяется до квантовой теории поля, описывающей произвольное количество нерелятивистских частиц массой $m$. Просто соберите бесконечное множество таких осцилляторов с операторами $a{\mathbf p}, a^\dagger{\mathbf p}$, параметризованными возможными импульсами $\mathbf p$, с…
Обычные полевые операторы являются преобразованием Фурье этих операторов, параметризованных импульсами, в операторы, параметризованные пространством.
Это удивительно простая история, но меня беспокоит, что она, похоже, совсем не соответствует философии евклидовой КТП, которая начинается с теории мнимого времени, а затем использует реконструкцию ОС для получения физической теории.
Простейший случай теории Остервальдера — Шредера описывает гармонический осциллятор более сложным образом, используя не уравнения движения первого порядка, а уравнение второго порядка. Всё ещё используя комплексное представление, $a$ удовлетворяет уравнению второго порядка.
Можно справиться с новыми решениями, определив отдельное пространство состояний и отдельные операторы $b, b^\dagger$, решая проблему отрицательной энергии путём обмена ролями операторов уничтожения и рождения. Теперь, помимо состояний квантов, имеются также «антикванты», которые можно метафорически описать как «кванты, движущиеся назад во времени».
Это теория квантового комплексного гармонического осциллятора с двумя сопряжёнными операторами.
Эта последняя теория представляет собой релятивистское действительное скалярное поле в 0+1 измерениях. У него есть разумная версия для мнимого времени, и к нему применяется теорема реконструкции ОС. Подробнее о том, как это работает, см., например, в разделе VII.4 этой статьи.
Меня беспокоит простой вопрос: я не встречал обсуждения реконструкции ОС, которое применялось бы к случаю комплексного гармонического осциллятора. Если кто-то знает о таком, пожалуйста, сообщите мне об этом.
Для случая простейшего возможного описания гармонического осциллятора, как указано в начале этого поста, меня всегда беспокоило не только то, что что-то вроде Остервальдера — Шредера, похоже, неприменимо, но даже больше то, что сложно придумать последовательный формализм интеграла по траекториям, который бы его описывал, даже в мнимом времени.
В какой-то период своей жизни я потратил много времени, размышляя об этом. Существует целая тема «интегралов по траекториям когерентных состояний» (хотя на самом деле это не интегралы), с обширной литературой. Хорошую дискуссию по этой теме можно найти в главе 6 («Интегралы по траекториям и голоморфный формализм») книги Жана Зинна-Жюстена «Интегралы по траекториям в квантовой механике» (для версии в общественном достоянии см. здесь).
Помимо случая гармонического осциллятора (квантование $\mathbf C$), ещё более простым должен быть случай спиновой степени свободы (квантование сферы Римана). Я пришёл к убеждению, что единственный способ осмысления такого интеграла по траекториям — это суперсимметричный интеграл по траекториям, связанный с теоремой об индексе.
Моя текущая точка зрения заключается в том, что нужен не чисто евклидов интеграл по траекториям, а формализм, голоморфный по временной переменной, то есть в области комплексного анализа, а не вещественного.
Пока я застрял на некоторых деталях этого, надеюсь вскоре найти силы, чтобы вернуться к этому и что-нибудь написать.
В случае, если это неясно, конечной мотивацией всего этого является поиск лучшего способа понимания некоторых запутанных аспектов Стандартной модели, в частности, обращения с киральными спинорными полями. Я постараюсь в ближайшее время написать обещанную запись в блоге о другой статье Остервальдера — Шредера, той, которая касается евклидовых фермионных полей.