Asgar Jamneshan, Or Shalom и я загрузили на arXiv нашу статью «Полиномиальные башни и обратная теория Гауэрса для групп с ограниченной экспонентой». В этой работе мы продолжаем исследование подхода эргодической теории к обратной теории норм Гауэрса над конечными абелевыми группами.
В этом контексте наш основной результат устанавливает удовлетворительную (качественную) обратную теорему для групп с ограниченным показателем:
Теорема 1
Пусть G — конечная абелева группа некоторого показателя d, и пусть f ограничено d с d ≥ 2. Тогда существует полином P степени не выше d, такой что…
Наша работа дополняет исследования групп с квадратичным порядком (по работе Канделы, Гонсалес-Санчеса и Сегеди), а также в случае, рассматриваемом в работе Джамнешана и меня. Случай, например, рассматривается этой теоремой, но не охватывается предыдущими результатами.
В вышеупомянутой статье Канделы и других авторов был также установлен результат, аналогичный приведённой выше теореме, за исключением того, что полином P был определён в расширении G, а не в самом G (или, что эквивалентно, f коррелирует с проекцией фазового полинома, а не напрямую с фазовым полиномом на G).
Этот результат согласуется с гипотезой Джамнешана и меня относительно того, какой должна быть «правильная» обратная теорема в любой конечной абелевой группе G (не обязательно с ограниченным показателем).
Как уже упоминалось выше, наш подход является эргодическим, выводя комбинаторную обратную теорему из эргодической структурной теоремы типа Хоста – Кра.
Наиболее естественная эргодическая структурная теорема, которую можно установить здесь, будет утверждать, что если G — счётная абелева группа ограниченного показателя, и X — эргодическая Z -система порядка не выше d в смысле Хоста – Кра, то X будет системой Абрамова — порождённой полиномами степени не выше d. Эта гипотеза была высказана много лет назад Бергельсоном, Циглером и мной, и верна во многих случаях «высокой характеристики», но, к сожалению, не выполняется в низкой характеристике, как недавно показали Джамнешан, Шалом и я.
Однако мы можем восстановить более слабую версию этого утверждения, а именно, что X допускает расширение, которое является системой Абрамова. (Этот результат ранее был установлен Канделой и другими авторами в модельном случае, когда G является векторным пространством над конечным полем.)
Само по себе это более слабое утверждение позволило бы только восстановить корреляцию с проецируемым фазовым полиномом, как в работе Канделы и других авторов; но расширение, которое мы строим, возникает как башня абелевых расширений, и в случае ограниченного показателя есть алгебраический аргумент (основанный на определённой короткой точной последовательности абелевых групп, расщепляющейся), который позволяет отобразить функции в этой башне обратно в исходную комбинаторную группу G, а не в её расширение, таким образом восстанавливая всю силу приведённой выше теоремы.
Краткое описание работы с башней Хоста – Кра
Башня Хоста – Кра представляет собой компактное абелево групповое расширение с помощью коцикла «типа» d, и мы пытаемся показать, что каждый такой коцикл когомологичен полиномиальному коциклу. Однако это, по-видимому, невозможно в общем случае, особенно в низкой характеристике, поскольку некоторые ключевые короткие точные последовательности не расщепляются требуемым образом.
Чтобы обойти это, мы должны работать с другой башней, расширяя различные уровни этой башни по мере необходимости, чтобы получить дополнительные хорошие алгебраические свойства каждого уровня, которые позволяют расщеплять требуемые короткие точные последовательности. Точные свойства, необходимые для этого, довольно технические, но основные из них можно описать неформально следующим образом:
1. Нам нужно, чтобы коциклы подчинялись свойству «точности», то есть существовало чёткое соответствие между типом коцикла (или любым из его компонентов) и его степенью как полиномиального коцикла. (По общему бессмыслию любой полиномиальный коцикл степени d автоматически имеет тип d; точность, грубо говоря, утверждает обратное.)
2. Системы в башне должны иметь «большой спектр» в том смысле, что множество собственных значений системы образует счётную плотную подгруппу двойственной группы Понтрягина действующей группы G (на самом деле мы требуем, чтобы была представлена определённая счётная плотная подгруппа).
3. Системы должны быть «чистыми» в том смысле, что отображающая полиномы на системе в полиномы на группе G выборка для почти каждого g ∈ G является инъективной, а образ является чистой подгруппой.
Далее можно рекурсивно построить башню расширений, которая в конечном итоге достигает расширения G, для которого выполняются вышеупомянутые полезные свойства точности, большого спектра и чистоты, и при этом система остаётся Абрамова на каждом уровне башни. Это требует длительного процесса «выпрямления» коцикла путём его дифференцирования, получения различных уравнений типа Конзе – Лезенги для производных, а затем «интегрирования» этих уравнений для приведения исходного коцикла в хорошую форму.
На нескольких этапах этого процесса становится необходимым, чтобы различные короткие точные последовательности (топологических) абелевых групп расщеплялись, что требует различных хороших свойств, упомянутых выше. Чтобы замкнуть индукцию, затем необходимо проверить, что эти свойства могут поддерживаться при восхождении по башне, что само по себе является нетривиальной задачей.