Я обучал своих студентов методу Кнастера раздела имущества, о котором узнал от моей подруги Ингрид Добеши. Давайте рассмотрим пример.
Задача. Элис и Боб разводятся. У них есть портрет дедушки Элис и 10 000 долларов. Элис оценивает портрет в 10 000 долларов из-за его сентиментальной ценности. Боб оценивает его по рыночной цене в 2000 долларов. Как им разделить имущество?
Вот что сначала предлагают мои студенты:
* Дать Элис портрет, а Бобу — все деньги.
* Дать Элис портрет, а деньги разделить пополам.
Рассмотрим эти предложения подробнее. Элис оценивает всё имущество в 20 000 долларов; Боб — в 12 000 долларов. В первом варианте Элис получает половину имущества с её точки зрения; Боб — остальное, что больше половины с его точки зрения. Студенты, очевидно, поддерживают Боба.
Во втором варианте Боб получает половину имущества по его оценке, а Элис — остальное, что больше половины с её точки зрения. Студенты, очевидно, поддерживают Элис.
После некоторого обсуждения студенты соглашаются, что должна быть сумма между 5000 и 10 000 долларов, которую получит Боб, и это будет более справедливое разделение, чем в двух первоначальных примерах. Но как найти такую сумму?
Здесь на помощь приходит алгоритм Кнастера. Основная идея заключается в том, что каждый получает одинаковую сумму денег в дополнение к своей предполагаемой половине. Другими словами, метод Кнастера рассматривает имущество как аукцион со скрытыми ставками и уравнивает бонусы.
Элис считает, что её справедливая половина — это 10 000 долларов, а Боб — что его половина — 6000 долларов. Чтобы уравнять бонусы, мы хотим, чтобы Элис и Боб получили свою предполагаемую половину плюс одинаковую сумму — назовём её $x$. Решение даёт $x = 2000$ долларов. Элис получает портрет и 2000 долларов, а Боб — 8000 долларов.
Это прекрасный алгоритм, который позволяет каждому быть очень довольным, получая больше, чем половина. Чем больше разница во вкусах, тем больше каждый человек получает сверх своей части.
Следующий вопрос: как люди могут обмануть, если они знают, что используется этот алгоритм?
Элис может обмануть, заявив, что она ценит портрет в 2000 долларов плюс эпсилон. Эпсилон нужен, чтобы гарантировать, что она получит портрет. Таким образом, они оба оценивают имущество одинаково. Элис получает портрет и 4000 долларов, что на 2000 долларов больше, чем по честному варианту.
Симметрично Боб может обмануть, заявив, что он ценит портрет в 10 000 долларов минус эпсилон. Таким образом, он получает 10 000 долларов, что на 2000 долларов больше, чем по честному варианту.
В этом году у моего студента Бена появилась нестандартная идея, как Элис может обмануть. Элис заявляет, что ценит портрет в 0 долларов. Боб думает, что имущество стоит 12 000 долларов, а Элис делает вид, что ценит его в 10 000 долларов. После расчёта Боб получает портрет и 4500 долларов, что на 500 долларов больше, чем его половина имущества с его точки зрения. Элис получает 5500 долларов, что на 500 долларов больше, чем половина имущества по её заявлению. Затем она покупает портрет у Боба за 2000 долларов. В итоге Элис получает портрет и 3500 долларов, что намного больше, чем она получила бы после честного использования алгоритма.
Первый метод обмана кажется более выгодным, чем новый. Но всё равно мне нравится, когда мои студенты предлагают неожиданные идеи. 😄