Я только что загрузил на arXiv свою препринтную статью «Максимальная длина лемнискаты Эрдаша–Герцога–Пираниана при высокой степени». В этой работе асимптотически решается старый вопрос о полиномиальных лемнискатах заданной степени и, в частности, вопрос об оценке длины дуги таких лемнискат.
Например, при определённой степени лемниската представляет собой единичную окружность, а длина дуги равна определённому значению. Это оказывается минимально возможной длиной среди всех (связных) лемнискат — результат Поммеренке. Однако вопрос о наибольшей длине лемнискаты остаётся открытым.
Ведущим кандидатом на роль экстремального значения является полином.
Известная гипотеза Эрдаша, Герцога и Пираниана (задача Эрдаша 114) утверждает, что это действительно максимизатор, таким образом, для всех монических полиномов степени.
Асимптотически границы вида были известны для различных значений, таких как, или; значительный прогресс был достигнут Фринтовым и Назаровым, которые получили асимптотически точную верхнюю границу для достаточно близких к. В той статье авторы отмечают, что ошибку можно было бы улучшить, но, похоже, это предел их метода.
Использование инструмента оптимизации AlphaEvolve
Недавно я исследовал эту проблему с помощью инструмента оптимизации AlphaEvolve, где обнаружил, что, когда я поставил перед этим инструментом задачу оптимизации для данной степени, инструмент быстро сошёлся к выбору значения, равного (с учётом симметрий вращения и переноса, присущих задаче). Это натолкнуло меня на мысль, что гипотеза верна для всех, хотя, конечно, это было далеко от строгого доказательства.
AlphaEvolve также предоставил некоторый полезный код визуализации для этих лемнискат, который я включил в статью (и в этот пост в блоге), и который помог мне развить интуицию для этой задачи. Я рассматриваю такую «визуализацию с помощью вибрации кода» как ещё один практический пример использования современных инструментов искусственного интеллекта.
Основные трудности
Ключевая трудность заключается в том, что существует относительно мало инструментов для получения верхних границ длины дуги кривой; парадокс береговой линии уже показывает, что кривые могут иметь бесконечную длину, даже будучи ограниченными. Таким образом, необходимо использовать некоторую гладкую или алгебраическую структуру на кривой, чтобы надеяться на хорошие верхние границы.
Один из возможных подходов — использование формулы Крофтана с применением теоремы Безу для контроля пересечения кривой с различными прямыми. Это уже достаточно хорошо для получения границ вида, но, похоже, сложно использовать этот подход для получения границ, близких к оптимальным.
Визуализация и анализ
Для визуализации и анализа используются различные меры и неравенства, такие как неравенство треугольника, неравенство перестановки Харди–Литтлвуда и неравенство ёмкости Поля. Однако этот аргумент не полностью учитывает колебательную природу фазы с одной стороны и колебательную природу с другой.
Фринтов–Назаров использовал эти колебания с некоторыми дополнительными разложениями и аргументами интегрирования по частям. Оптимизируя эти аргументы, я смог установить неравенство вида, где — расширение (которое значительно менее осцилляторно, как показано на рисунке ниже), а — определённые члены ошибки, которые можно контролировать с помощью ряда стандартных инструментов (например, теоремы Гронвалла о площади).
(1) как следует. Предположим, мы работаем в области, где функции примерно постоянны: . Для простоты давайте нормализуем, чтобы было вещественным, а — отрицательным вещественным. Чтобы иметь нетривиальную лемнискату в этой области, должно быть близко к.
Поскольку единичная окружность касается прямой в точке, условие лемнискаты тогда эвристически аппроксимируется условием, что. С другой стороны, гипотеза предполагает, что для некоторой амплитуды, которая эвристически интегрируется до.
Графическая иллюстрация
Графическая иллюстрация (предоставлена Gemini) показана ниже, где тёмные пятна соответствуют малым значениям, которые действуют так, чтобы «отталкивать» (и укорачивать) лемнискату. (Яркие пятна соответствуют критическим точкам, которые в этом случае состоят из шести критических точек в начале координат и одной в обоих и.)
Выбирая параметры соответствующим образом, можно показать, что и, что даёт первую границу. Однако путём более тщательного анализа аргументов и, в частности, измерения дефекта в неравенстве треугольника можно показать, что дисперсия критических точек (после нормализации так, чтобы эти критические точки имели среднее значение, равное нулю) может быть использована для улучшения контроля над членами ошибки. Оптимизация этой стратегии приводит ко второй границе.
В этом случае можно провести некоторые элементарные манипуляции с факторизацией и; например, мы сможем получить приближение вида. Это в сочетании с прямыми вычислениями длины дуги может в конечном итоге привести к третьей оценке.
Чрезвычайно тщательная версия предыдущего анализа теперь может дать оценку формы, где — мера того, насколько близко к (она равна дисперсии плюс дополнительный член для учёта постоянного члена). Это устанавливает окончательную границу (для достаточно больших) и даже показывает, что единственным экстремальным значением является (с учётом симметрий переноса и вращения).