Ирландский математик и физик Уильям Роуэн Гамильтон, родившийся 220 лет назад в прошлом месяце, известен тем, что в 1843 году вырезал математические «граффити» на мосту Брум в Дублине.
Но при жизни репутация Гамильтона основывалась на работах, выполненных в 1820-х и начале 1830-х годов, когда ему было чуть за двадцать. Он разработал новые математические инструменты для изучения лучей света (или «геометрической оптики») и движения объектов («механика»).
Интересно, что Гамильтон разработал свою механику, используя аналогию между путём светового луча и путём материальной частицы. Это не так удивительно, если свет — это материальная частица, как считал Исаак Ньютон, но что, если бы свет был волной? Что означало бы, что уравнения волн и частиц в чём-то аналогичны?
Ответ пришёл столетие спустя, когда пионеры квантовой механики поняли, что подход Гамильтона предлагал больше, чем просто аналогию: это был взгляд на истинную природу физического мира.
Место Гамильтона в истории
Чтобы понять место Гамильтона в этой истории, нужно вернуться немного назад. Для обычных объектов или частиц основные законы (или уравнения) движения были опубликованы Ньютоном в 1687 году. В течение следующих 150 лет такие исследователи, как Леонард Эйлер, Жозеф-Луи Лагранж и затем Гамильтон, создавали более гибкие и сложные версии идей Ньютона.
«Гамильтонова механика» оказалась настолько полезной, что только в 1925 году — почти сто лет спустя — кто-то остановился, чтобы пересмотреть, как Гамильтон вывел её.
Его аналогия с путями света работала независимо от истинной природы света, но в то время были веские доказательства того, что свет — это волна. В 1801 году британский учёный Томас Юнг провёл свой знаменитый эксперимент с двумя щелями, в котором два световых луча создали «интерференционную» картину, подобную перекрывающимся волнам на пруду, когда в него бросают два камня.
Шесть десятилетий спустя Джеймс Клерк Максвелл понял, что свет ведёт себя как волна в электромагнитном поле. Но затем, в 1905 году, Альберт Эйнштейн показал, что некоторые свойства света можно объяснить только в том случае, если свет может вести себя как поток частиц — «фотонов».
В своей статье 1905 года об фотоэлектрическом эффекте, где свет выбивает электроны из некоторых металлов, Эйнштейн использовал формулу Планка для этих энергетических сгустков (или квантов): $E = hν$. $E$ — это количество энергии, $ν$ (греческая буква ню) — частота фотона, а $h$ — число, называемое постоянной Планка.
Но в другой статье того же года Эйнштейн представил другую формулу для энергии частицы: версию ныне знаменитой $E = mc^2$. $E$ снова является энергией, $m$ — массой частицы, а $c$ — скоростью света.
Итак, здесь были два способа расчёта энергии: один, связанный со светом, зависел от частоты света (величины, связанной с колебаниями или волнами); другой, связанный с материальными частицами, зависел от массы.
Это наводило на мысль о более глубокой связи между материей и светом?
Развитие квантовой механики
Эту нить подхватил в 1924 году Луи де Бройль, который предположил, что материя, как и свет, может вести себя как волна и как частица. Последующие эксперименты доказали его правоту, но уже было ясно, что квантовые частицы, такие как электроны и протоны, подчиняются совсем другим правилам, чем повседневные объекты.
Необходим был новый вид механики: «квантовая механика».
1925 год ознаменовал появление не одной, а двух новых теорий. Первой была «матричная механика», начатая Вернером Гейзенбергом и разработанная Максом Борном, Полем Дираком и другими.
Через несколько месяцев Эрвин Шрёдингер начал работу над «волновой механикой». Что возвращает нас к Гамильтону.
Шрёдингера поразила аналогия Гамильтона между оптикой и механикой. Сделав прыжок воображения и тщательно подумав, он смог объединить идеи де Бройля и уравнения Гамильтона для материальной частицы, чтобы получить «волновое уравнение» для частицы.
Обычное волновое уравнение показывает, как «волновая функция» изменяется во времени и пространстве. Для звуковых волн, например, волновое уравнение показывает смещение воздуха из-за изменений давления в разных местах с течением времени.
Но с волновой функцией Шрёдингера не было ясно, что именно колеблется. Действительно, представляет ли она физическую волну или просто математическое удобство, до сих пор остаётся спорным вопросом.
Тем не менее, дуализм волна-частица лежит в основе квантовой механики, которая лежит в основе многих современных технологий — от компьютерных чипов до лазеров и волоконно-оптической связи, от солнечных батарей до МРТ-сканеров, электронных микроскопов, атомных часов, используемых в GPS, и многого другого.
Действительно, что бы ни колебалось, уравнение Шрёдингера можно использовать для точного прогнозирования вероятности наблюдения частицы — например, электрона в атоме — в заданное время и в заданном месте.
Это ещё одна странная особенность квантового мира: он вероятностный, поэтому вы не можете заранее определить точное местоположение этих вечно колеблющихся электронов, как это делают уравнения «классической» физики для повседневных частиц, таких как мячи для крикета и спутники связи.
Уравнение Шрёдингера позволило провести первый правильный анализ атома водорода, который имеет только один электрон. В частности, оно объяснило, почему электроны атома могут занимать только определённые (квантованные) энергетические уровни.
Было показано, что квантовые волны Шрёдингера и квантовые матрицы Гейзенберга эквивалентны почти во всех ситуациях. Гейзенберг также использовал гамильтонову механику в качестве ориентира.
Сегодня квантовые уравнения всё ещё часто записываются с точки зрения их полной энергии — величины, называемой «гамильтонианом», основанной на выражении Гамильтона для энергии механической системы.
Гамильтон надеялся, что механика, которую он разработал по аналогии со световыми лучами, окажется широко применимой. Но он, конечно, никогда не предполагал, насколько прозорливой будет его аналогия в нашем понимании квантового мира.