Краудсорсинговый проект по объединению erdosproblems.com с OEIS
SLMath анонсирует новые исследовательские программы
Гладкие числа
Дано пороговое значение, -гладкое число (или -уязвимое число) — это натуральное число, простые множители которого не превышают заданного значения. Обозначим как количество -гладких чисел до определённого предела.
При изучении асимптотического поведения принято писать как (или как ) для некоторого значения. Для малых значений поведение очевидно: например, если , то все числа до автоматически являются -гладкими.
Теорема Мертенса
Для существует дополнительная поправка, связанная с кратными двух простых чисел между и . Простой аргумент включения-исключения (который мы здесь опускаем) в конечном итоге даёт:
де Брёйн показал, что — это функция Дикмана. Эта функция является кусочно-гладкой, убывающей функцией, определённой дифференциальным уравнением задержки.
Асимптотическое поведение при довольно сложное. Очень грубо говоря, оно имеет обратное факториальное поведение; существует общая верхняя граница, и грубая асимптотика.
Принцип максимальной энтропии
Задача состоит в том, чтобы попытаться подсчитать количество -гладких чисел определённой величины. Мы предложим вероятностную модель для генерации -гладких чисел следующим образом: для каждого простого числа выбирается простое число с независимой вероятностью для некоторого коэффициента, а затем все выбранные простые числа перемножаются вместе. Это явно сгенерирует случайное -гладкое число, и по закону больших чисел (log-)величина этого числа должна быть приблизительно равна.
SLMath анонсирует новые исследовательские программы
Математический институт Саймонса-Лауфера (SLMath), ранее известный как Математический научный исследовательский институт (MSRI), недавно реструктурировал свои программные форматы и анонсирует три новые исследовательские инициативы, заявки на участие в которых открываются 1 сентября 2025 года:
1. AxIOM (ускорение инноваций в математике) — это новая месячная исследовательская программа в SLMath, призванная ускорить инновации и внедрить преобразующие идеи в математические науки. Программы начнутся весной 2027 года.
2. PROOF (содействие исследовательским возможностям и открытым форумам) — это двухнедельная летняя программа, разработанная для предоставления исследовательских возможностей математикам США, статистикам и их сотрудникам в США и за рубежом, чьи текущие исследования могли быть затронуты такими факторами, как большие учебные нагрузки, профессиональная изоляция, ограниченный доступ к финансированию, тяжёлые административные обязанности, личные обязательства или другие ограничения. Программы начнутся в июне–июле 2026 года. Крайний срок подачи заявок на участие в PROOF 2026 — 12 октября 2025 года.
3. LATTICE (прочный альянс через командное погружение и совместные исследования) — это годичная программа, которая предоставляет американским математикам возможности для проведения совместных исследований по темам, находящимся в авангарде математических и статистических наук. Программы начнутся в июне–июле 2026 года. Заявки на участие в LATTICE 2026 принимаются до 1 февраля 2026 года.
(Раскрытие информации: я являюсь заместителем председателя попечительского совета SLMath.)