Согласно математическим расчётам, существует софа таких размеров, что она может пройти за угол. Если вы когда-нибудь пытались протащить диван по узкому коридору при переезде на новую квартиру, то вам наверняка покажется интересной задача из области чистой математики, известная как «задача о софе».
Задача состоит в том, чтобы найти максимальное значение площади софы, которая может проскользнуть за 90-градусный поворот в коридоре заданной ширины. Математики давно подозревали, что ответ кроется в форме, известной как «софа Гервера». И, возможно, постдокторант из Южной Кореи наконец-то предоставил окончательное доказательство того, что они были правы.
Что такое софа Гервера?
Впервые эта задача была сформулирована в 1966 году математиком Лео Мозером. В 1992 году Джозеф Л. Гервер продемонстрировал построение фигуры, которая с тех пор стала известна как софа Гервера. Он показал, что она обеспечивает максимально возможную площадь для фигуры, которая может пройти за угол.
Математики давно подозревали, что он прав, но никто не мог доказать это окончательно.
Шаг вперёд сделал математик Джинеон Бэк, чья эпическая 119-страничная статья по этой проблеме была размещена на сервере arXiv. В статье делается вывод, что гипотеза Гервера верна: софа Гервера, площадь которой составляет 2,2195 единиц (при условии, что коридор имеет ширину в одну единицу), действительно является лучшей из возможных.
Первое, что вы заметите в софе Гервера, — она не очень похожа на ту, что стоит у вас в гостиной. Бэк, аспирант университета Йonsei в Южной Корее, говорит, что термин «софа» здесь — скорее милое прозвище для «теоретической фигуры», которую он описывает как «похожую на старый телефон».
Почему софа Гервера имеет такую форму? Ответ прост: форма максимизирует площадь, при этом непрерывно проходя за угол. Большой вырез посередине позволяет ей поворачивать за угол, а изгибы на каждом противоположном углу позволяют ей скользить вдоль стен.
Бэк объясняет, что Гервер построил фигуру, предполагая, что софа должна касаться стены в любой точке. «Точки соприкосновения между стеной и софой образуют кривые, которые определяют границы софы», — говорит он.
Оптимизация этих кривых — построение их таким образом, чтобы максимизировать площадь фигуры — даёт софу Гервера. Сама фигура на самом деле чрезвычайно сложна, что отчасти объясняет, почему задачу было так трудно решить на протяжении многих лет.
Помимо Гервера и Бэка, над этой задачей в течение многих лет работали и другие математики, и в совокупности их работы уже установили как минимальную, так и максимальную возможные площади софы. Нижняя граница была установлена самим Гервером, а верхняя граница — 2,37 — была продемонстрирована в статье 2017 года Йоава Каллуса и Дана Ромика.
Иными словами, математики знали, что максимальная площадь софы лежит где-то между 2,2195 и 2,37, но не точно где. Статья Бэка отвечает на этот вопрос, доказывая, что нижняя граница на самом деле настолько велика, насколько это возможно для софы.
Доказательство софы
Бэк объясняет, что его доказательство состоит из трёх шагов. Первый — подтверждение того, что оптимальной формой для максимизации площади софы действительно является традиционная, похожая на телефон форма софы Гервера. Второй — определение того, как именно должна выглядеть эта форма. И третий — установление верхней границы площади этой формы.
Третий шаг был самым сложным, потому что рассчитать площадь софы Гервера непросто. Природа фигуры означает, что для определения её площади не существует простой формулы.
«Оригинальная софа может изменяться произвольным образом… она может состоять более чем, скажем, из 100 различных кривых, — объясняет Бэк. — И вы даже не можете контролировать количество различных кривых [нужных]. Поэтому [её площадь] не имеет конкретной формулы».
Чтобы обойти эту проблему, Бэк построил другую фигуру, которая была по сути упрощённой версией софы Гервера, показав, что эта фигура должна охватывать всю софу. Иными словами, если взять софу Гервера определённой длины и ширины, она всегда поместится в упрощённую софу тех же размеров.
Поскольку площадь упрощённой фигуры было легко рассчитать, и она всегда охватывала фигуру софы, поиск способа оптимизировать упрощённую фигуру позволил бы установить верхнюю границу для софы Гервера.
Таким образом, Бэк попытался выяснить, насколько большой может быть упрощённая фигура и какой у неё оптимальный вид. Ответ оказался таким же, как у софы Гервера. Этот результат означает, что нижняя и верхняя границы оптимальной софы совпали, так что софа Гервера — это самая большая возможная софа, которая может пройти за угол.
«Я использовал выпуклую оптимизацию и геометрию, чтобы оптимизировать [площадь простой фигуры], и оптимальным решением стала софа Гервера, что и завершило доказательство», — говорит Бэк.
Софа, такая хорошая
Хотя ответ, возможно, не поможет вам маневрировать обычным прямоугольным диваном по узкому коридору, у него есть потенциал для реального применения. Бэк объясняет, что задача объединяет области планирования движения (изучение того, как перемещать объекты из точки в точку наиболее эффективным способом) и оптимизации площади (область чистой математики, которая изучает, как максимизировать площадь заданной фигуры).
Тем не менее Бэк подчёркивает, что, как и многие задачи, изучаемые в математических исследованиях, задача о софе возникла из любопытства математиков и желания расширить свои знания. «Как и многие результаты из области чистой математики, этот результат, скорее всего, не будет использоваться в реальной жизни».
Тем не менее Бэк говорит, что он ищет новый предмет мебели, чтобы отпраздновать решение этой почти 60-летней математической задачи.
«Я всё ещё хочу иметь физическую софу Гервера в углу своего офиса, на которой я мог бы сидеть!»