Как можно описать поведение элементарных частиц и структуру Вселенной, используя одни и те же математические понятия? Этот вопрос лежит в основе недавней работы математиков Клаудии Февола из Inria Saclay и Анны-Лауры Саттелбергер из Института математики имени Макса Планка, недавно опубликованной в «Уведомлениях Американского математического общества».
Математика и физика: взаимосвязь
Математика и физика тесно связаны. Математика предлагает язык и инструменты для описания физических явлений, в то время как физика стимулирует развитие новых математических идей. Это взаимодействие остаётся жизненно важным в таких областях, как квантовая теория поля и космология, где сложные математические структуры и физические теории развиваются вместе.
Алгебраическая геометрия в исследовании Вселенной
В своей статье авторы исследуют, как алгебраические структуры и геометрические формы могут помочь нам понять явления, начиная от столкновений частиц, таких как в ускорителях частиц, и заканчивая крупномасштабной архитектурой космоса. Их исследование сосредоточено вокруг алгебраической геометрии.
Их недавние исследования также связаны с областью, называемой позитивной геометрией — междисциплинарным и новым предметом в математике, движимым новыми идеями в физике элементарных частиц и космологии.
Позитивная геометрия и её применение
Эта область была вдохновлена геометрической концепцией позитивной геометрии, которая расширяет стандартный подход диаграмм Фейнмана в физике элементарных частиц, представляя взаимодействия в виде объёмов высокоразмерных геометрических объектов, таких как амплитуэдр, представленный теоретическими физиками Нима Аркания-Хамедом и Ярославом Трнка в 2013 году.
Этот подход имеет далеко идущие последствия, выходящие за рамки физики элементарных частиц. В космологии учёные используют слабый свет космического микроволнового фона и распределение галактик, чтобы сделать выводы о том, что сформировало раннюю Вселенную. Подобные математические инструменты теперь применяются и в других областях.
Алгебраическая геометрия и физика
Формальные объекты, рассматриваемые в статье, такие как интегралы Фейнмана, обобщённые интегралы Эйлера или канонические формы позитивной геометрии, не являются просто математическими абстракциями. Они соответствуют наблюдаемым явлениям в физике высоких энергий и космологии, позволяя проводить точные вычисления поведения частиц и космических структур.
Исследование представляет подход с широкой применимостью и масштабируемостью. Процессы рассеяния часто иллюстрируются с помощью диаграмм Фейнмана. Подход Фейнмана в изучении амплитуд рассеяния сводится к изучению сложных интегралов, связанных с такими диаграммами. Алгебраическая геометрия предоставляет ряд инструментов для систематического исследования этих интегралов.
Работа Февола и Саттелбергер отражает растущие международные усилия. Она объединяет математику, физику элементарных частиц и космологию, сосредотачиваясь на этих связях между алгеброй, геометрией и теоретической физикой.
«Позитивная геометрия — всё ещё молодая область, но она имеет потенциал значительно повлиять на фундаментальные исследования как в физике, так и в математике», — подчёркивают авторы. «Теперь научное сообщество должно разработать детали этих новых математических объектов и теорий и подтвердить их. Обнадёживает то, что несколько успешных коллабораций уже заложили важную основу».
Недавние разработки не только углубляют наше понимание физического мира, но и расширяют границы самой математики. Позитивная геометрия — это больше, чем инструмент. Это язык, который может объединить наше понимание природы во всех масштабах.
Предоставлено:
[Max Planck Society](http://www.mpg.de/english/portal/index.html)