Прежде всего: из-за внезапного приостановления финансирования Национальным научным фондом (NSF) моего родного университета UCLA, Институт чистой и прикладной математики (который предварительно был утверждён для получения гранта NSF на пять лет для управления институтом) в настоящее время занимается сбором средств для обеспечения непрерывности работы во время приостановки. Цель — собрать 500 000 долларов. Пожертвования можно сделать на этой странице.
Как входящий директор по специальным проектам в IPAM, я благодарен за поддержку (как моральную, так и финансовую), которую мы уже получили за последние несколько дней, но мы всё ещё не достигли нашей цели по сбору средств.
Статья «Приблизительные числа между последовательными простыми числами»
Эйла Гафни и я только что загрузили на arXiv статью «Приблизительные числа между последовательными простыми числами». В этой статье мы решаем вопрос Эрдаша о приблизительных числах между последовательными промежутками, и с помощью современных вычислений теории решета мы фактически получаем довольно точные асимптотики для этой задачи. (Кстати, это исследование было поддержано моим личным грантом NSF, который также в настоящее время приостановлен; я благодарен за недавние пожертвования в мой собственный исследовательский фонд, которые помогли мне завершить это исследование.)
Промежуток между простыми числами — это интервал между последовательными простыми числами. Мы говорим, что промежуток между простыми числами содержит приблизительное число, если существует целое число, у которого наименьший простой делитель не меньше длины промежутка. Например, промежуток между простыми числами содержит приблизительное число, но промежуток между простыми числами не содержит (все целые числа между и имеют простой делитель меньше ).
Первые несколько чисел, для которых промежуток между простыми числами не содержит приблизительного числа, медленно убывают с увеличением :
Согласно гипотезе Шинцеля, будет бесконечно много значений, для которых прогрессии одновременно представляют простые числа; это следует непосредственно из гипотезы H Шинцеля, но в настоящее время не может быть доказано. Эти простые числа являются последовательными и дают требуемый контрпример. Я ожидаю, что такая ситуация довольно исключительна и что целые числа, для которых не существует удовлетворяющего условиям, имеют плотность.
Простые числа-кузены для (из которых является первым примером) дадут промежуток между простыми числами, который не содержит приблизительных чисел.
Это перечислено как задача № 682 на веб-сайте Томаса Блума с задачами Эрдаша. В этой статье мы отвечаем на вопрос Эрдаша и фактически даём довольно точную границу для числа контрпримеров:
Теорема 1 (Эрдос № 682). Для пусть будет количество промежутков между простыми числами с, которые не содержат приблизительного числа. Тогда…
Предполагая гипотезу Диксона – Харди – Литтлвуда о простых числах, мы можем улучшить это до… для некоторой (явно описываемой) константы.
Хотя формула, которую мы должны вычислить, сходится очень медленно. Это (слабо) подтверждается численными данными:
Хотя многие вопросы о промежутках между простыми числами остаются открытыми, теория приблизительных чисел гораздо лучше изучена благодаря современным инструментам теории решета, таким как фундаментальная лемма теории решета. Основная идея состоит в том, чтобы сформулировать задачу в терминах подсчёта количества приблизительных чисел в коротких интервалах, где варьируется в некотором диадическом интервале, и является гораздо меньшей величиной, такой как для некоторого. Здесь нужно изменить определение «приблизительного» так, чтобы оно означало «без простых множителей меньше» для некоторого промежуточного (например, для некоторого оказывается разумным выбором). Эти задачи очень аналогичны чрезвычайно хорошо изученной задаче подсчёта простых чисел в коротких интервалах, но можно добиться большего прогресса, не прибегая к мощным гипотезам, таким как гипотеза Харди – Литтлвуда о простых числах.
В частности, из-за фундаментальной леммы теории решета можно вычислить среднее значение и дисперсию (то есть первые два момента) таких подсчётов с высокой точностью, используя, в частности, некоторые вычисления средних значений сингулярных рядов, которые восходят по крайней мере к работе Монтгомери 1970 года. Этот анализ второго момента оказывается достаточным (после оптимизации всех параметров) для решения задачи Эрдаша с более слабой границей.