Понимание естественной геометрии кристаллов давно привлекает учёных, особенно при изучении поведения материалов при различных температурах и давлениях. Один из основных вопросов в этой области заключается в том, всегда ли формы, которые образуются при минимизации энергии, имеют выпуклую форму — то есть не имеют впадин на поверхности. Этот вопрос становится ещё более интересным, если рассматривать фигуры в трёх измерениях, где всё гораздо сложнее.
Доктор Эммануил Индрей из Университета штата Кеннесо и доктор Арам Караханян из Эдинбургского университета взялись за решение этой задачи, изучая известную математическую проблему, связанную с формированием кристаллов. Их выводы, опубликованные в журнале Mathematics, исследуют, принимают ли кристаллы, сформированные путём балансировки энергии (то есть поиска наиболее эффективной формы для заданной массы), естественно выпуклые формы при соблюдении определённых общих правил.
В центре их исследования — детальная математическая демонстрация
Это пошаговое доказательство показывает, что при определённых условиях формы, использующие наименьшую энергию, действительно являются выпуклыми в трёх измерениях.
Доктор Индрей и доктор Караханян рассмотрели ситуации, когда задействованные силы равномерно направлены наружу, а общая энергия остаётся в пределах установленного лимита. Они обнаружили, что либо все оптимальные формы являются выпуклыми, либо, по крайней мере, те, которые образованы с меньшим количеством материала, являются выпуклыми.
Они пришли к такому выводу, используя известные результаты об устойчивости, полученные доктором Индреем и недавно опубликованные в журнале Calculus of Variations and Partial Differential Equations, а также математические инструменты, которые рассматривают, как изменения энергии связаны с формой.
Их результаты важны, поскольку они помогают прояснить, какие типы сил и энергетических закономерностей гарантируют выпуклые формы кристаллов. В случаях, когда силы притяжения одинаковы во всех направлениях, а потенциальная энергия увеличивается с расстоянием от центра (известная как радиальная симметрия), их выводы показывают, что выпуклые формы всегда будут результатом.
Как объяснили исследователи, «наша теорема подразумевает выпуклость для большого набора потенциалов; наш аргумент также включает в себя невыпуклые потенциалы».
Особенно интересная часть их работы включает новый способ проверки выпуклости путём изучения того, как форма изгибается или искривляется. Исследователи обнаружили, что при условии регулярности энергии, если кристалл сглаживается в одной точке, он должен быть плоским везде в окрестности — это означает, что форма не может изгибаться внутрь в одних частях и наружу в других.
Это даёт полезный инструмент для прогнозирования того, когда и где кристалл может потерять свою внешнюю кривизну, и даёт более чёткое представление о том, насколько последовательной остаётся форма.
Подводя итог своему исследованию, доктор Индрей и доктор Караханян указали на важность последовательной внешней кривизны и устойчивости к небольшим изменениям для меньшего количества материала. Когда эти факторы присутствуют, результирующие формы не только остаются выпуклыми, но и не так легко теряют свою форму.
Их выводы предполагают, что формы кристаллов следуют основополагающим правилам, которые более упорядочены, чем может показаться. «Наша новая идея для трёхмерной задачи Альмгрена — использовать теорему об устойчивости… и первое изменение в уравнении свободной энергии PDE с новым подходом, основанным на принципе максимума», — сказали исследователи.
Здесь PDE относится к уравнению в частных производных, виду уравнения, часто используемого для описания того, как физические величины, такие как энергия или тепло, изменяются в пространстве и времени. Принцип максимума — это математическое правило, которое помогает предсказать, как ведёт себя функция, основанная на её границах.
Это исследование знаменует собой важный шаг вперёд в понимании того, как и почему кристаллы образуют те формы, которые они образуют при минимизации энергии. Оно продолжает давнюю традицию использования математики для объяснения физического мира — традицию, восходящую к таким пионерам, как Гиббс и Кюри.
Ссылки на источники
* Indrei, E., Karakhanyan, A. «On the Three-Dimensional Shape of a Crystal». Mathematics, 2025; 13(614). DOI: https://doi.org/10.3390/math13040614
* Indrei, E. «On the equilibrium shape of a crystal». Calc. Var. Partial. Differ. Equ. 2024, 63, 97. DOI: https://doi.org/10.1007/s00526-024-02716-6
Об авторах
Эммануил Индрей — доцент кафедры математики в Университете штата Кеннесо. Он получил докторскую степень по математике в Техасском университете в Остине в 2013 году. Его докторская диссертация была отмечена премией Фрэнка Герта III. Он был научным сотрудником NSF EAPSI в 2012 году, постдокторантом в Австралийском национальном университете, стипендиатом Хунеке в Институте математических наук в Беркли, Калифорния, и научным сотрудником PIRE в Университете Карнеги-Меллона.
Основные темы его исследований — нелинейные PDE, задачи со свободными границами и геометрические и функциональные неравенства. За последние несколько лет он доказал гипотезу о нетрансверальном пересечении, решил задачу Альмгрена в двух измерениях (также в одном измерении) и добился прогресса в гипотезе Поля-Сёге о первом собственном значении лапласиана на многоугольниках.
Арам Караханян — доцент кафедры математики в Эдинбургском университете, где он изучает нелинейные уравнения в частных производных и геометрический анализ. Его исследования охватывают капиллярные и K-поверхности, уравнение Монжа-Ампера, отражающие поверхности, фазовые переходы и задачи со свободными границами.
Он решил задачу о ближнепольных отражателях, которая когда-то была включена в список из 100 открытых задач Яу, и продвинул понимание задач об препятствиях и нелинейной упругости. Его вклад распространяется на теорию гомогенизации, изучение регулярности минимизаторов при сложных ограничениях.
Караханян получил несколько многолетних грантов, включая стипендии EPSRC и премию Polonez, и возглавляет междисциплинарные группы, решающие аналитические задачи. Он регулярно сотрудничает на международном уровне и руководит аспирантами, работающими на переднем крае математического анализа.