Понимание естественной геометрии кристаллов давно волнует учёных, особенно при изучении поведения материалов при различных температурах и давлениях. Один из главных вопросов в этой области — всегда ли формы, которые образуются при минимизации энергии, имеют выпуклую форму, то есть не имеют впадин на поверхности. Этот вопрос становится ещё более интересным, если рассматривать формы в трёх измерениях, где всё гораздо сложнее.
Доктор Эмануэль Индрей из Университета штата Кеннесо и доктор Арам Караханян из Эдинбургского университета взялись за решение этой задачи, изучая известную математическую проблему, связанную с образованием кристаллов. Их выводы, опубликованные в журнале Mathematics, исследуют, принимают ли кристаллы, сформированные путём балансировки энергии, то есть поиска наиболее эффективной формы для данной массы, естественно выпуклые формы при соблюдении определённых общих правил.
В центре их исследования — детальная математическая демонстрация
В ней показано, что при определённых условиях формы, использующие наименьшую энергию, действительно являются выпуклыми в трёх измерениях. Доктор Индрей и доктор Караханян рассмотрели ситуации, когда задействованные силы равномерно направлены наружу, а общая энергия остаётся в пределах установленного лимита. Они обнаружили, что либо все оптимальные формы являются выпуклыми, либо, по крайней мере, те, которые образованы с меньшим количеством материала, являются выпуклыми.
Они пришли к такому выводу, используя известные результаты об устойчивости, полученные доктором Индреем и недавно опубликованные в журнале Calculus of Variations and Partial Differential Equations. Это означает, что они исследовали, насколько форма устойчива к изменениям, а также использовали математические инструменты, которые рассматривают, как изменения энергии связаны с формой.
Их результаты важны, поскольку они помогают прояснить, какие типы сил и энергетических закономерностей гарантируют выпуклые формы кристаллов. В случаях, когда силы притяжения одинаковы во всех направлениях, а потенциальная энергия увеличивается с расстоянием от центра (известная как радиальная симметрия), их выводы показывают, что всегда будут получаться выпуклые формы.
Как объяснили исследователи, «наша теорема подразумевает выпуклость для большого набора потенциалов; наш аргумент также включает в себя невыпуклые потенциалы».
Особенно интересная часть их работы — новый способ проверки выпуклости путём изучения того, как форма изгибается или искривляется. Исследователи обнаружили, что при условии регулярности энергии, если кристалл становится плоским в одной точке, он должен быть плоским везде в окрестности — это означает, что форма не может изгибаться внутрь в одних частях и наружу в других.
Это даёт полезный инструмент для прогнозирования того, когда и где кристалл может потерять свою внешнюю кривизну, и даёт более чёткое представление о том, насколько последовательной остаётся форма.
Подводя итог своему исследованию, доктор Индрей и доктор Караханян указали на важность последовательной внешней кривизны и устойчивости к небольшим изменениям для меньшего количества материала. Когда эти факторы присутствуют, полученные формы не только остаются выпуклыми, но и не так легко теряют свою форму.
Их выводы предполагают, что формы кристаллов следуют основополагающим правилам, которые более упорядочены, чем может показаться. «Наша новая идея для трёхмерной задачи Альмгрена — использовать теорему об устойчивости… и первое изменение в уравнении в частных производных для свободной энергии с новым подходом, основанным на принципе максимума», — сказали исследователи.
Здесь PDE относится к уравнению в частных производных, виду уравнения, часто используемого для описания того, как физические величины, такие как энергия или тепло, изменяются в пространстве и времени. Принцип максимума — это математическое правило, которое помогает предсказать, как ведёт себя функция, исходя из её границ.
Это исследование знаменует собой важный шаг вперёд в понимании того, как и почему кристаллы образуют те формы, которые они образуют при минимизации энергии. Оно продолжает давнюю традицию использования математики для объяснения физического мира — традицию, восходящую к таким пионерам, как Гиббс и Кюри.
Это новое исследование может помочь в будущих теоретических исследованиях и практических усилиях по моделированию и разработке материалов с определёнными формами и свойствами.
Ссылка на журнал
Indrei, E., Karakhanyan, A. «On the Three-Dimensional Shape of a Crystal». Mathematics, 2025; 13(614). DOI: https://doi.org/10.3390/math13040614
Indrei, E. «On the equilibrium shape of a crystal». Calc. Var. Partial. Differ. Equ. 2024, 63, 97. DOI: https://doi.org/10.1007/s00526-024-02716-6
Об авторах
Эмануэль Индрей — доцент кафедры математики в Университете штата Кеннесо. Он получил докторскую степень по математике в Техасском университете в Остине в 2013 году. Его докторская диссертация была отмечена премией Фрэнка Герта III. Он был научным сотрудником NSF EAPSI в 2012 году, постдокторантом в Австралийском национальном университете, стипендиатом Хунеке в Математическом институте научных исследований в Беркли, Калифорния, и научным сотрудником PIRE в Университете Карнеги-Меллона. Основные темы его исследований — нелинейные PDE, задачи со свободными границами и геометрические и функциональные неравенства.
Арам Караханян — доцент кафедры математики в Эдинбургском университете, где он изучает нелинейные уравнения в частных производных и геометрический анализ. Его исследования охватывают капиллярные и K-поверхности, уравнение Монжа-Ампера, отражающие поверхности, фазовые переходы и задачи со свободными границами. Он решил задачу ближнего поля для отражателя, которая когда-то была включена в список из 100 открытых задач Яу, и продвинул понимание задач с препятствиями и нелинейной упругости. Его вклад распространяется на теорию гомогенизации, изучение регулярности минимизаторов при сложных ограничениях. Караханян получил несколько многолетних грантов, включая стипендии EPSRC и премию Polonez, и возглавляет междисциплинарные группы, решающие аналитические задачи. Он регулярно сотрудничает на международном уровне и руководит аспирантами, работающими в передовых областях математического анализа.