Кристаллы известны своей красотой и элегантностью. Однако, несмотря на внешнюю идеальность, их микроструктура может быть весьма сложной, что затрудняет математическое моделирование.
Тем не менее, находятся люди, которые принимают вызов. В статье, опубликованной в этом месяце в журнале Royal Society Open Science, исследователи из Университета Осаки использовали дифференциальную геометрию, чтобы предоставить надёжное, строгое и единое описание механики кристаллов и их дефектов.
Идеальные и реальные кристаллы
В идеальном кристалле каждый атом расположен в идеально периодическом порядке. Однако при ближайшем рассмотрении большинство кристаллов оказываются неидеальными. Они содержат небольшие дефекты в своей структуре — например, отсутствующий атом или дополнительную связь.
Эти дефекты имеют важные механические последствия: они могут быть отправной точкой для образования трещины или даже использоваться для упрочнения материалов. Понимание дефектов и их явлений крайне важно для исследователей.
«Дефекты бывают разных форм», — объясняет ведущий автор исследования Сунсуке Кобаяши. «Например, существуют так называемые дислокации, связанные с нарушением трансляционной симметрии, и дисклинации, связанные с нарушением вращательной симметрии. Охватить все эти виды дефектов в одной математической теории непросто».
Предыдущие модели и новые инструменты
Предыдущие модели не смогли согласовать различия между дислокациями и дисклинациями, что указывает на необходимость модификации теории. Новые математические инструменты, использующие язык дифференциальной геометрии, оказались именно тем, что нужно команде для решения этих проблем.
«Дифференциальная геометрия предоставляет очень элегантную основу для описания этих сложных явлений», — говорит Рюичи Таруми, старший автор. «Простые математические операции могут быть использованы для описания этих эффектов, позволяя нам сосредоточиться на сходствах между, казалось бы, разрозненными дефектами».
Используя формализм многообразий Римана–Картана, исследовательская группа смогла элегантно описать топологические свойства дефектов и строго доказать взаимосвязь между дислокациями и дисклинациями; ранее существовали только эмпирические наблюдения, а их строгие математические формы были загадкой.
Кроме того, они смогли вывести аналитические выражения для полей напряжений, вызванных этими дефектами.
Команда надеется, что их геометрический подход к описанию механики кристаллов в конечном итоге вдохновит учёных и инженеров на разработку материалов с особыми свойствами за счёт использования дефектов, например, для упрочнения материалов, как это происходит с дисклинациями.
А пока эти результаты — ещё один пример того, как красота математики помогает нам понять красоту природы.
Предоставлено:
[Университет Осаки](https://phys.org/partners/university-of-osaka/)