Мы оглядываемся на истории из журнала Cosmos Magazine в печати. Птицы делают это, пчёлы делают это — даже люди инстинктивно понимают векторы и реагируют на них, например, когда ловим мяч или выбираем кратчайший путь. Но, как объяснила Робин Арианрод в декабре 2023 года, обманчиво простая концепция векторов потребовала много времени, чтобы найти свой математический язык, и теперь она предлагает удивительные открытия в экологии и нейробиологии.
Насекомые-переносчики
Кто-то с огородом или фруктовым деревом знает, что насекомые могут быть вредителями. Они также могут передавать болезни — например, комары переносят малярию и энцефалит. Эти дьявольские переносчики болезней называются векторами.
Но эта история о другом виде векторов — более счастливом, который несёт не болезнь, а линию от точки к точке. (Слово «вектор» происходит от латинского vehere: «переносить».) Удивительно, но насекомые играют роль и в этой истории. Ведь насекомые — не только вредители. Они — важная часть экологической пищевой цепи, и они опыляют многие из наших продовольственных культур. Их популяции сокращаются по всему миру, и в надежде, что мы сможем обратить этот процесс вспять, прежде чем станет слишком поздно, этих маленьких существ наконец-то признают за их экологическую важность.
Путь насекомых
Насекомое жужжит от цветка к цветку по извилистому пути в поисках пищи. И всё же оно всегда находит дорогу домой — и поразительно, самым коротким путём. Другими словами, независимо от того, насколько извилист его путь поиска пищи, он знает, как проложить прямую линию к дому.
Это удивительное поведение было обнаружено у различных насекомых — особенно у пчёл и муравьёв — и у различных птиц, животных и даже креветок. Но как они это делают?
Неврологическая форма математической векторной арифметики
Удивительно, но они используют неврологическую форму математической векторной арифметики. Пока они блуждают, эти существа-навигаторы отслеживают свой курс, складывая векторы более счастливого вида — те, которые студенты математических факультетов учатся представлять в виде стрелки, потому что математические векторы могут кодировать как расстояние, так и направление. Стрелка указывает в нужном направлении, а её длина даёт расстояние.
Люди тоже могут делать врождённую навигационную математику. Мы даже можем делать это заранее, инстинктивно визуализируя кратчайшее расстояние между двумя близлежащими ориентирами — например, решая, срезать ли путь через пастбище от точки А прямо к фермерским воротам в точке С, вместо того чтобы следовать по границе от А до В до С. Это именно то, что делают насекомые, когда они добывают пищу от А до В до С, затем вычисляют АС. Обращая направление, это становится их «домашним вектором», СА, который говорит им, как проложить прямую линию домой.
Изучение векторов в школе
Если вы изучали векторы в школе, вы узнаете, что длина и направление этого кратчайшего пути находятся из простого векторного сложения, складывая стрелки от А до В и от В до С через правило треугольника или параллелограмма. Это правило гласит, что любые два вектора можно выровнять наконечник к наконечнику, как это, и их сумма будет вектором вдоль диагонали подразумеваемого параллелограмма.
На практике, конечно, на пути насекомого гораздо больше двух точек, и в каждой новой точке оно обновляет свой вектор расстояния, добавляя новый отрезок пути к ранее рассчитанному кумулятивному вектору.
Путь к векторам
На самом деле, научиться мыслить абстрактно было долгим путём для математиков-людей. Даже скромное правило параллелограмма появилось не сразу — и оно более сложное, чем может показаться на первый взгляд. Это связано с тем, что оно воплощает идею о том, что у вектора есть независимые компоненты. Например, когда вектор c составлен из суммы независимых векторов a и b, они могут рассматриваться как компоненты c. Звучит просто, не так ли? Однако 500 лет назад у некоторых лучших математиков в мире были проблемы с правилом параллелограмма — и, следовательно, с идеей независимых компонентов движения, как вы можете видеть по тому, как они пытались определить форму траектории снаряда.
Закон инерции и свободное падение
К сожалению, толчком для этих исследований стала война, и проблема точного наведения на врага с помощью пушечных ядер, пуль и стрел. Итальянский математик XVI века Никколо Тарталья был первым, кто серьёзно попытался проанализировать траекторию пушечного ядра. Всё, что у него было, — это его воображение и любые данные, которые он мог собрать о том, как высоко и как далеко улетит такое ядро; не было никаких технологических инструментов для визуализации траектории в целом. Поэтому он рассуждал интуитивно, утверждая, что пушечное ядро будет следовать прямой линии в направлении, в котором оно было выпущено, пока гравитация не замедлит его настолько, что оно не начнёт огибать и затем просто упадёт прямо на землю.
Закон свободного падения
Это было ещё полвека, прежде чем два величайших ума в ранней современной науке — Галилео Галилей и Томас Харриот — независимо решили эту задачу в начале 1600-х годов. Фактически они решили две задачи. Во-первых, без сопротивления воздуха тяжёлые объекты не падают быстрее лёгких — это закон свободного падения, который Харриот и Галилей выразили в виде уравнения, связывающего расстояние, пройденное при падении, со временем падения, и показали, что это справедливо для всех тел, падающих под действием одной и той же гравитационной силы. Во-вторых, без сопротивления воздуха все снаряды описывают параболическую траекторию.
Векторы в действии
Сегодня, имея на руках векторы, студенты старших классов, изучающие высшую математику, могут легко вывести эту форму — для любого угла проекции, а не только для горизонтального — путём разложения силы, действующей на снаряд, на его горизонтальную и вертикальную составляющие, а затем применения второго закона движения Ньютона к каждой составляющей.
В своём легендарном «Начале» 1687 года Исаак Ньютон не только разработал законы движения, но и использовал правило параллелограмма для изучения физических величин, таких как силы или скорости. Фактически именно Ньютон впервые чётко определил двойственную природу силы и скорости — природу, которую впоследствии мы можем назвать «векторной», потому что он определил эти величины с точки зрения двух атрибутов: направления и величины. Векторы не получили своего названия и всех своих математических правил до XIX века. Но, как мы увидим в остальной части этой истории, ньютоновская идея вместе с немного тригонометрии вполне достаточно, чтобы мы могли понять, как эти замечательные насекомые находят дорогу домой.
Крошечные мозги, навыки первопроходца
Пчёлы — не только эксперты в прокладывании прямых путей домой. Вернувшись в улей, пчела знает, как сообщить своим товарищам по улью местоположение любого вкусного и обильного источника пищи, который она обнаружила во время своего похода за добычей. Она делает это с помощью своего удивительного виляющего танца, где она ориентирует своё тело, чтобы указать направление (рассчитанное относительно Солнца), а продолжительность и количество виляний сообщают расстояние.
Внешние сигналы, такие как положение Солнца, особенно полезны для насекомых и других существ, чтобы отслеживать направление своего движения, но навигация также включает в себя чисто внутренний метод, называемый интеграцией пути (ИП). Это процесс, который использует внутренние сигналы движения тела, чтобы отслеживать изменения направления и расстояния, чтобы насекомое могло найти свой путь к заданной точке — например, обратно к своей начальной точке или от улья к известному источнику пищи. И отслеживание направления и расстояния означает отслеживание вектора.
Векторы и счисление пути
Дарвин предположил, что интеграция пути (ИП) может быть аналогична счислению пути. Этот термин происходит от того, как моряки определяли своё расстояние и направление движения по открытым морям — счисленное счисление стало «мёртвым счислением». Моряк завязывал равномерно расположенные узлы на верёвке, один конец которой был привязан к бревну и выброшен за борт. Пока корабль двигался, бревно фактически оставалось на месте; подсчитывая количество узлов, когда верёвка раскручивалась, моряк знал расстояние, пройденное кораблём. Он также знал направление по компасу и скорость (в узлах!) по количеству узлов, разматывающихся за заданное время. Таким образом, он мог постоянно обновлять положение корабля. Это аналогично физиологическому ИП, где мозг постепенно обновляет вектор положения тела.
Наш мозг тоже может это делать. Я уже упоминал о нашей способности визуализировать кратчайшие пути, но когда свет неожиданно гаснет, мы всё равно можем проложить путь через комнату к шкафу, где хранятся спички и свечи, ощупывая дорогу вокруг мебели, но также используя внутреннее ИП для определения расстояния и направления.
Векторы: третье измерение
Другие существа, такие как медоносные пчёлы, определяют расстояние с помощью «оптического потока» — относительного движения, обнаруженного глазами, когда визуальные образы проносятся мимо, или с помощью усов животных или антенн насекомых, обнаруживающих поток воздуха. Это внутреннее чувство движения даёт оценку скорости, которая интегрируется по времени для получения расстояния.
Математика в мозге
Конечно, как и другие насекомые, птицы и животные, плодовые мушки не рисуют стрелки для представления своих векторов. Как они это делают, долгое время было загадкой, но в 2021 году две группы нейробиологов нашли ответ. Чэн Лю и Гэби Маймон из Рокфеллеровского университета, Ларри Эбботт из Колумбийского университета и Дженни Лу из Гарварда, Рэйчел Уилсон и их команда определили нейроны, которые позволяют плодовым мушкам воспринимать движение (через оптический поток). Активность этих нейронов — клеток PFNd и PFNv — можно измерить, с пиками или выпуклостями, возникающими, когда соответствующие нейроны активны, потому что муха находится в движении. Но вот что удивительно: когда эти выпуклости активности наносятся на график по всем нейронам PFN в мозге мухи, возникает синусоидальный узор. Амплитуда этой синусоиды представляет скорость мухи, а фаза даёт угол или направление движения. Таким образом, она представляет вектор!
Превращение этого вектора скорости в вектор «домой» происходит ниже по течению от активности нейронов PFN, но уже плодовые мушки действительно умеют делать векторную математику. Их поле зрения составляет почти 360°, и в их мозге есть четыре набора этих нейронов, чувствительных к движению — и четыре синусоидальные волны, измеряющие их активность. Между ними они кодируют движение насекомого вперёд и назад, влево и вправо. Другими словами, эти четыре набора нейронов кодируют компоненты движения в этих четырёх направлениях.
Но вот что действительно невероятно. Эти четыре вектора PFN дают компоненты скорости относительно самой мухи, но эта информация затем передаётся в другой набор клеток, называемых нейронами hΔB, которые также имеют синусоидальные модели активности. На этот раз синусоидальные волны представляют вектор скорости относительно внешнего сигнала, такого как Солнце. Чтобы добиться этого, нейронные схемы в этом крошечном мозге выполняют ещё один удивительный математический подвиг, эффективно поворачивая исходные четыре вектора компонентов так, чтобы они теперь были выровнены с углом Солнца. Затем мозг насекомого складывает эти повёрнутые векторные компоненты — не по правилу параллелограмма, а путём сложения синусоид.
«То, что здесь происходит, — это явная реализация векторной математики в мозге», — объяснил Маймон в интервью для Рокфеллеровского университета. «Результатом является выходной вектор, который указывает в направлении, в котором муха движется, со ссылкой на Солнце» — точно так же, как моряки когда-то ориентировались относительно Солнца и звёзд.
От одного мозга к другому
Этот вид преобразования из одной системы отсчёта в другую — от мухи к Солнцу в этом случае — широко распространён в науке. Например, он лежит в основе физики теории относительности. Это также происходит внутри вашего мобильного телефона, подсчитывающего шаги. Распространённый механизм подсчёта шагов включает в себя расчёт вертикального ускорения вашей пятки при ударе о землю. Итак, в то время как плодовой мухе нужно знать направление своего движения относительно Солнца, вашему телефону нужно рассчитать шаги в вашей (привязанной к Земле) системе координат, где ваше тело является вертикальной осью, а земля — горизонтальной. Однако система координат телефона обычно повёрнута по сравнению с системой координат Земли, в зависимости от ориентации, которую устройство может принимать в вашем кармане или сумке. Программа телефона использует математическое преобразование из своей системы в вашу, чтобы шагомер выбрал правильные векторные компоненты — вертикальные из-за удара вашей пятки — из необработанных, часто случайных данных, собранных датчиками телефона.
Чтобы привести ещё один пример из области технологий, тот же самый набор математических инструментов плодовой мухи, с его векторными сложениями и геометрическими вращениями, позволяет осуществлять ориентацию и слежение в искусственных навигационных системах, которые направляют корабли и роботов.
Поиск продолжается
Идёт поиск того, как именно человеческий мозг позволяет нам ориентироваться — в надежде, что это поможет улучшить диагностику и лечение людей, чьи пространственные навыки пострадали из-за травмы или деменции. Это огромная задача, учитывая, что в мозге плодовой мухи около 150 000 нейронов, а у нас около 90 миллиардов. Но работа над плодовыми мухами — это захватывающий первый шаг, предлагающий способ, которым насекомые неврологически выполняют эту навигационную векторную математику. Аналогичная работа была проделана над пчёлами международной группой исследователей, в которую входили Томас Стоун и Барбара Уэбб из Эдинбургского университета и Рэйчел Темплин, тогда работавшая в Университете Квинсленда.
Другие исследователи также заметили, что клетки мозга, чувствительные к направлению, имеют синусоидальные модели активности, хотя и не такие детальные, как недавние исследования плодовых мух. В 2023 году Пау Асейтуно, Доминик Далл’Осто и Иоаннис Писокас — исследователи в старой школе Эйнштейна, ETH Zurich — рассмотрели все эти доказательства. Они исследовали различные математические модели кодирования направления, сделав вывод, что синусоидальная модель, наблюдаемая в различных нейронных схемах насекомых, не является просто совпадением. Скорее, она эволюционировала как наиболее устойчивая к шуму — то есть наименее склонная к ошибкам при кодировании данных неврологически.
Тайны математики и магнетизма
Говоря об эволюции, Дарвин отказался из-за отсутствия доказательств предполагать, лучше ли другие существа ориентируются, чем мы. В мире насекомых трудно превзойти этих умных пчёл по навигационным способностям, но другие виды также являются экспертами — и мигрирующие птицы, безусловно, имеют преимущество перед людьми. Для начала они наследуют от своих родителей направление, в котором им нужно двигаться во время ежегодного миграционного путешествия. Чтобы отслеживать это направление, хотя — когда ветер сбивает их с курса или когда они останавливаются, чтобы поесть или отдохнуть — они используют не только Солнце и звёзды, как древние моряки, но и магнитное поле Земли. Исследователи, включая биофизико-химика Питера Хора из Оксфордского университета, Великобритания, и биолога Хенрика Муритцена из Университета Ольденбурга, Германия, обнаружили доказательства, свидетельствующие о квантовом механизме, который позволяет птицам «видеть» эти поля — и он также использует векторы: в этом случае спиновые векторы, представляющие магнитные моменты элементарных частиц.
Живя мечтой о векторах
Недавние исследования подтверждают идею о том, что навигация у людей и других существ включает в себя как внешние сигналы, такие как Солнце или естественные ориентиры, так и ИП. Кристофер Анастасиу и Наохиде Намамото из Технологического университета Квинсленда и их коллега Оливер Баумгартен из Университета Бонда показали, что мы лучше запоминаем ландшафт, если активно проходим по нему — используя собственное внутреннее чувство движения — а не изучая карту или видео удалённо.
Физика этого открытия — и то, как это может дать птицам их собственные встроенные магнитные компасы — сложна. Так же сложны детали, стоящие за векторными мозговыми волнами плодовых мух и всеми другими исследованиями ИП. Но всё это во многом обязано абстрактному математическому языку векторов. То же самое относится и к технологиям, которые нейробиологи используют для своих открытий. Например, спиновые векторы являются ключевыми для структурной и функциональной магнитно-резонансной томографии (МРТ и фМРТ), которая позволяет исследователям наблюдать структуру и функцию мозга. Итак, хотя навигационные способности насекомых, птиц и животных поистине удивительны, поистине потрясающе то, что мы, люди, можем выйти за рамки этой врождённой математической способности. Это был медленный путь, как показывает работа над движением снарядов. Но в конечном счёте математики создали абстрактный язык, который помог учёным разгадать не только некоторые тайны мозга, но и многие другие тайны Вселенной.