Айла Гафни и я только что загрузили на arXiv статью 📄 «О количестве исключительных интервалов для теоремы о простых числах в коротких промежутках». В работе явно показаны связи между теоремами о нулевой плотности и распределением простых чисел на коротких интервалах, которые ранее были лишь неявно упомянуты в научной литературе. 🔄
—
Теоремы нулевой плотности
Эти теоремы дают оценки вида
\[
N(\sigma, T) \ll T^{A(1-\sigma)} (\log T)^B,
\]
где \( \sigma \in [\tfrac{1}{2}, 1] \), \( T \to \infty \), а \( N(\sigma, T) \) — количество нулей дзета-функции Римана с действительной частью \( \geq \sigma \) и мнимой частью между \( 0 \) и \( T \). Здесь \( A \) — показатель, который стремятся минимизировать. 📉
Гипотеза Римана позволила бы взять \( A = 0 \), но это пока недостижимо. Практическая цель — получить нетривиальные верхние оценки. Ключевой ориентир — гипотеза плотности, утверждающая, что \( A \leq 12/5 \). Недавний прорыв 🚀 Гата и Мейнарда улучшил верхнюю оценку \( A \) с \( 12.55 \) до \( 11.7 \) — первое улучшение за 40 лет!
—
Связь с теоремой о простых числах
Теоремы о нулевой плотности помогают локализовать распределение простых чисел на коротких интервалах. Например, если \( N(\sigma, T) \ll T^{A(1-\sigma)} \), то справедлива теорема о простых числах
\[
\pi(x+y) – \pi(x) \sim \frac{y}{\log x}
\]
для всех \( y \geq x^{2/3 + \epsilon} \) или для почти всех \( x \), если \( y \geq x^{\epsilon} \). 💡
Результаты Гата–Мейнарда гарантируют выполнение теоремы для \( y \geq x^{0.523} \), а гипотеза плотности снизила бы это до \( y \geq x^{0.4} \).
—
Изучение исключительных множеств
Важно оценить размер множества исключительных интервалов, где теорема не работает. Для этого вводится «размерность» исключительного множества, ограничивающая его мощность \( \ll y^{1-\delta} \) на любом интервале длины \( y \). 📐
Ранние работы Баззанеллы–Перелли и других авторов изучали этот вопрос, но использовали устаревшие оценки нулевой плотности. В нашей работе использованы современные методы, включая четвёртые моменты и аддитивную энергию нулей. Получены явные связи между показателями \( \delta \) и параметрами нулевой плотности:
\[
\delta \geq \frac{2(4 – A)}{(3 – A)(7 – 3A)},
\]
а также улучшенные оценки с использованием аддитивной энергии. 🔬
—
ANTEDB и визуализация результатов
Наши формулы идеально интегрируются в базу данных ANTEDB (Analytic Number Theory Exponent Database) 🗄️. Вот новые оценки размерности исключительных множеств:
- Без условий: сравнение с предыдущими работами.
- При гипотезе плотности: \( \delta \geq 0.056 \).
- При условных гипотезах (Римана, Линделёфа): \( \delta \to 1 \), что соответствует почти полному отсутствию исключений. 📊
Графики показывают, как оценки улучшаются с новыми достижениями в нулевой плотности — ключевой шаг к пониманию распределения простых чисел! 🌟