🎉 Новое исследование по периодическому замощению! 🎉
Мы с Рэйчел Гринфельд загрузили на arXiv статью «Некоторые варианты гипотезы периодического замощения». В ней изучаются условия, при которых плитка, способная замостить группу трансляционно, обязана делать это периодически.
🔍 Основной вопрос:
Для дискретной абелевой группы \( G \) и конечного подмножества \( F \):
Если существует решение \( A \subseteq G \) уравнения замощения \( 1F * 1A = 1_G \), обязательно ли существует периодическое решение \( A’ \)?
📌 Известно:
- ✅ Да для \( G = \mathbb{Z} \), \( \mathbb{Z}^2 \).
- ❌ Нет для \( \mathbb{Z}^d \) при \( d \geq 3 \) и некоторых \( F \).
🌟 Новые результаты:
1️⃣ Теорема 2 (однородный случай):
Для целочисленных функций \( f, g \) на \( G \):
- (i) Ненулевое решение \( f * g = 0 \) существует.
- (ii) Периодическое ненулевое решение существует.
- (iii) Нулевой коэффициент Фурье для нетривиального характера.
🔗 Все три условия алгоритмически разрешимы! ⚙️
2️⃣ Теорема 4 (многомерный случай):
Для \( G = \mathbb{Z}^d \), \( d \geq 2 \), и периодической \( f \):
- Существование целочисленного решения \( f * g = 1_G \) ⇨ Периодическое решение тоже существует.
3️⃣ Теорема 5 (индикаторные функции):
Для \( G = \mathbb{Z}^d \), \( d \geq 2 \):
- Индикаторное решение \( 1F * 1A = 1_G \) ⇨ Периодическое индикаторное решение.
🔐 Алгоритмическая разрешимость доказана! 🛠️
🧩 Методы:
- Структурная теорема: Решения замощения можно представить как сумму однопериодических функций.
- Симметрия уравнений: Использование конечных разностей и ретракционных гомоморфизмов для «периодизации» решений.
- Работа с иррациональными коэффициентами: Замена на рациональные с сохранением свойств индикаторных функций.
❓ Открытые проблемы:
- Сохраняется ли Теорема 4 для \( \mathbb{Z}^d \) при больших \( d \)?
- Можно ли алгоритмизировать Теорему 4?
📚 Подробности — в [статье](https://arxiv.org) и [блоге](https://terrytao.wordpress.com).
P.S. Магия математики иногда требует манипуляций с пределами и анализа в конечных полях! 🔮✨