✨ Новое исследование в теории периодических замощений! 🧩
Мы с Рэйчел Гринфельд загрузили на arXiv статью «Некоторые варианты периодической гипотезы замощения». В работе изучается, при каких условиях плитка, способная замостить группу трансляционно, может также сделать это периодически. Например:
❓ Вопрос 1: Если существует решение уравнения замощения для конечного множества в абелевой группе, обязан ли существовать периодический аналог такого решения?
✅ Известные случаи: одномерные группы 🧮 и ℝ². Но для ℤ³ и высших размерностей гипотеза может нарушаться!
—
🌟 Три ключевых результата:
1. Теорема 2 (при поддержке Тима Остина): Для гомогенных задач на дискретных абелевых группах три условия эквивалентны:
– (i) Нетривиальное целочисленное решение.
– (ii) Нетривиальное периодическое целочисленное решение.
– (iii) Существование обращающегося в ноль коэффициента Фурье 🎵.
🎯 Следствие: Все условия алгоритмически разрешимы!
2. Теорема 4 (для ℤ²): Существование целочисленного решения ⇨ существование периодического.
3. Теорема 5 (индикаторные функции): Для ℤ² аналогичное утверждение, но строго для функций-индикаторов (0/1).
—
🔍 Методы и сложности:
- Теорема 5 сложнее из-за ограничений на индикаторные функции. Пришлось бороться с иррациональными коэффициентами полиномов и комбинаторными данными.
- Использованы техники:
– Теорема Вейля о равномерном распределении 📊.
– Анализ моментов для контроля структуры решений.
– Ретрактные гомоморфизмы 🔄 для связывания условий.
—
🚧 Открытые проблемы:
- Алгоритмическая разрешимость для Теоремы 4 в высших размерностях.
- Возможный провал Теоремы 4 в больших размерностях (как в классической гипотезе).
📚 Подробнее — в [статье](https://arxiv.org) и [предыдущем блоге](https://terrytao.wordpress.com). Вопросы? Делитесь мыслями! 💬