🎉 Новое исследование в области математики! Мы с Рэйчел Гринфельд загрузили на arXiv статью «Некоторые варианты гипотезы о периодическом замощении». В работе изучается, когда множество, способное замостить группу трансляциями, обязано делать это периодически 🔄.
Основной вопрос:
📌 Пусть G — дискретная абелева группа, а F — её конечное подмножество. Если уравнение замощения 1F 1S = 1_G имеет решение S*, существует ли периодическое решение?
Известно, что для G = ℤ или ℤ² ответ положительный ✅, но для ℤ^d при d ≥ 3 возможны исключения ❗.
Новые варианты задачи:
1️⃣ Уровневые замощения: вместо покрытия каждой точки ровно один раз (уровень 1), рассматриваются покрытия уровня m (каждая точка покрыта m копиями F).
2️⃣ Целочисленные функции: вместо индикаторных функций 1F и 1S разрешены целочисленные значения, что приводит к уравнениям свёртки 🧩.
Ключевые результаты:
📜 Теорема 2 (для однородных задач):
Для G и целочисленной F с конечным носителем эквивалентны:
(i) Существует ненулевое целочисленное решение.
(ii) Существует периодическое ненулевое решение.
(iii) Некоторые коэффициенты Фурье F обращаются в ноль 🎵.
🎯 Следствие 3: Все три условия алгоритмически разрешимы! Компьютер может определить их выполнимость за конечное время 💻.
📜 Теорема 4 (для ℤ²):
Целочисленные решения уравнения 1F 1S = 1_G* существуют тогда и только тогда, когда есть периодическое решение.
📜 Теорема 5 (для индикаторных функций в ℤ²):
Аналогичная эквивалентность, но с дополнительным условием: решение должно оставаться индикаторной функцией 🛑.
⚠️ Сложности:
- Для ℤ^d при d ≥ 3 Теорема 5 не работает, а статус Теоремы 4 остаётся открытым ❓.
- В Теореме 5 приходится бороться с апериодичностью из-за иррациональных коэффициентов полиномов и комбинаторных данных.
Методы:
- Структурная теорема раскладывает решения на однопериодические компоненты 🔄.
- Использование конечных разностей и ретракционных гомоморфизмов для связи с уравнениями над ℤ.
- В Теореме 5 критически важна рационализация коэффициентов полиномов через теорему Вейля о равномерном распределении 📊.
Итог: Работа расширяет понимание периодичности в замощениях, но в высших размерностях остаётся простор для будущих открытий 🌌!