🧮 Многие задачи в анализе (а также в смежных областях — комбинаторике, теоретической информатике, уравнениях с частными производными) связаны с изучением скорости роста ⬆️ или убывания ⬇️ величин, зависящих от асимптотических параметров (например, n). Речь идёт о линейном, квадратичном, полиномиальном, экспоненциальном и других типах роста.
📜 Исторически такие скорости называли «порядками бесконечности» (термин из книги Харди 1910 года), но сейчас это выражение редко используется 🕰️. Однако понятие полей Харди всё ещё актуально!
🔍 Для работы с порядками бесконечности применяют асимптотическую нотацию. Одна из её версий — гибрид символики Харди и Ландау:
1️⃣ f ≲ g, f = O(g) означает, что f ≤ C⋅g для некоторой константы C и всех достаточно больших параметров.
2️⃣ f ≪ g, f = o(g) говорит, что для любого ε > 0 верно f ≤ ε⋅g при достаточно больших параметрах.
3️⃣ f ≍ g означает двустороннюю оценку: C₁⋅g ≤ f ≤ C₂⋅g.
⚠️ В аналитической теории чисел популярна нотация Виноградова, где символы ≪ и ≲ имеют другие значения. Но здесь остановимся на системе Харди-Ландау.
🌀 Интересный момент: асимптотические оценки можно рассматривать как «тропическую алгебру» 🌴, где операции напоминают сложение и умножение, но с экзотическими правилами (например, f + f = f).
🤔 Почему же аналитики редко записывают аксиомы для порядков бесконечности? Отчасти из-за культурных различий с алгеброй ⚖️. Анализ опирается на «эпсилон-дельта» конструкции с кванторами, что мешает чисто алгебраическому подходу.
🌌 Неклассический анализ (с ультрафильтрами) позволяет скрыть кванторы и сделать рассуждения более алгебраичными. Это превращает порядки бесконечности в полностью упорядоченное векторное пространство 📏 с элементами вроде n, n², eⁿ. Но цена — неявность констант и сложность построения явных примеров.
🔑 Ключевая идея: ультрафильтр даёт аксиому полноты — для любого утверждения либо оно, либо его отрицание верно при достаточно больших параметрах ✅. Например, пространство L нестандартных порядков бесконечности образует:
- Тропическое полукольцо 🌀 (с идемпотентным сложением: f ⊕ f = f).
- Логарифмическое векторное пространство 📊 (умножение заменяет сложение, степени — скалярное умножение).
📚 Важное свойство: L обладает полнотой для любых вложенных интервалов (открытых, закрытых). Это аналог теоремы о вложенных отрезках в ℝ, но с необычной топологией 🏛️ (нематризуемо, несчётно).
🚀 Такой подход упрощает алгебраические манипуляции с асимптотиками, но требует осторожности в интерпретации. Идеи нестандартного анализа помогают, например, в символьных вычислениях или изучении полиномиальных и квазилогарифмических порядков роста ✨.