“`html
Как на самом деле работает криптография с открытым ключом, используя только простую математику
Система безопасности, лежащая в основе интернета, использует любопытный факт: вы можете опубликовать часть вашего шифра, чтобы сделать вашу информацию гораздо более защищенной. Основа современного безопасного общения в сети — это криптография с открытым ключом, метод, который кажется парадоксальным, но работает благодаря изящным математическим принципам.
Представьте, что Алиса хочет отправить секретное сообщение Борису. Если бы они могли встретиться лично, Алиса могла бы положить сообщение в ящик, закрыть его на замок и передать Борису. Но ключ от замка? Если Алиса передаст ключ Борису незащищенным способом, например, по почте, то Ева (от англ. eavesdropper – подслушивающий), которая может перехватывать их сообщения, скопирует ключ. Тогда Ева сможет открыть ящик и прочитать секретное сообщение. Это классическая проблема: как безопасно передать ключ, не имея заранее установленного безопасного канала?
Старый метод: Симметричное шифрование
Традиционно использовалось симметричное шифрование. Здесь и отправитель, и получатель используют один и тот же секретный ключ. Это похоже на замок с одним ключом. Проблема остается: как Алисе и Борису изначально обменяться этим ключом так, чтобы Ева его не узнала? Если Ева перехватит ключ, вся система будет скомпрометирована.
Революция: Асимметричное шифрование и аналогия с красками
В 1976 году Уитфилд Диффи (Whitfield Diffie) и Мартин Хеллман (Martin Hellman) предложили революционное решение, известное как протокол Диффи-Хеллмана. Этот протокол позволяет двум сторонам создать общий секретный ключ, обмениваясь информацией открыто, даже если Ева все слышит.
Представим это с помощью аналогии смешивания красок:
1. Общая краска: Алиса и Борис публично договариваются об общем цвете краски (скажем, желтом). Ева тоже знает этот цвет.
2. Секретные цвета: Алиса тайно выбирает свой секретный цвет (например, красный). Борис тайно выбирает свой секретный цвет (например, синий). Эти цвета они держат в секрете.
3. Смешивание: Алиса смешивает общую желтую краску со своим секретным красным, получая оранжевый. Борис смешивает общую желтую со своим секретным синим, получая зеленый.
4. Публичный обмен: Алиса отправляет свой оранжевый цвет Борису открыто. Борис отправляет свой зеленый цвет Алисе открыто. Ева видит эти смешанные цвета (оранжевый и зеленый), но не знает секретных (красного и синего).
5. Создание общего секрета: Теперь Алиса берет полученный от Бориса зеленый цвет и добавляет к нему свой секретный красный. Борис берет полученный от Алисы оранжевый цвет и добавляет к нему свой секретный синий. В результате у обоих получается одинаковый коричневато-оливковый цвет (желтый + красный + синий). Это и есть их общий секретный ключ.
Ева, видя только желтый, оранжевый и зеленый, не может легко “разделить” смешанные цвета, чтобы узнать секретные красный и синий, а значит, не может получить финальный общий секретный цвет. Химически разделить смешанные краски очень сложно.
Математика за ширмой: Модульная арифметика
Аналогия с красками иллюстрирует идею, но реальная криптография с открытым ключом использует математику, в частности, модульную арифметику или “арифметику по модулю”.
Представьте себе часы. На них всего 12 чисел. Если сейчас 7 часов, то через 8 часов будет 15 часов, но на часах мы увидим 3 часа. Мы говорим, что 15 по модулю 12 равно 3 (пишется как 15 mod 12 = 3). Модуль — это число, после которого счет начинается заново (в примере с часами модуль равен 12). Остаток от деления 15 на 12 равен 3.
Вместо смешивания красок используется операция возведения в степень по модулю. Это работает как односторонняя функция: легко вычислить `g^a mod p`, но очень сложно найти `a`, зная `g`, `p` и результат `g^a mod p`. Эта сложность называется проблемой дискретного логарифмирования.
Протокол Диффи-Хеллмана в числах
Давайте заменим краски числами, используя пример из оригинальной статьи:
1. Общие числа: Алиса и Борис публично договариваются об “основании” `g = 3` и “модуле” `p = 17`. Ева знает эти числа.
2. Секретные числа: Алиса выбирает секретное число `a = 15`. Борис выбирает секретное число `b = 13`. Они держат их в секрете.
3. Вычисление “публичных ключей”:
* Алиса вычисляет `A = g^a mod p = 3^15 mod 17`. `3^15` — это огромное число (14 348 907), но `14 348 907 mod 17` равно `6`. Итак, `A = 6`.
* Борис вычисляет `B = g^b mod p = 3^13 mod 17`. `3^13 = 1 594 323`. `1 594 323 mod 17` равно `12`. Итак, `B = 12`.
4. Публичный обмен: Алиса отправляет `A = 6` Борису. Борис отправляет `B = 12` Алисе. Ева видит `g=3`, `p=17`, `A=6`, `B=12`.
5. Создание общего секрета:
* Алиса берет полученное `B=12` и вычисляет `s = B^a mod p = 12^15 mod 17`. `12^15` — снова очень большое число, но по модулю 17 результат равен `10`. Итак, у Алисы `s = 10`.
* Борис берет полученное `A=6` и вычисляет `s = A^b mod p = 6^13 mod 17`. `6^13` — тоже большое число, но по модулю 17 результат также равен `10`. Итак, у Бориса `s = 10`.
Теперь у Алисы и Бориса есть общий секретный ключ `s = 10`. Ева, зная `g=3`, `p=17`, `A=6`, `B=12`, должна была бы решить `3^a mod 17 = 6` (чтобы найти `a`) или `3^b mod 17 = 12` (чтобы найти `b`). Для таких маленьких чисел это возможно перебором, но в реальной криптографии используются числа с сотнями цифр, и проблема дискретного логарифмирования становится вычислительно неразрешимой для современных компьютеров. Именно эта сложность обеспечивает безопасность протокола.
Дальнейшее развитие: RSA и полноценное шифрование
Протокол Диффи-Хеллмана отлично подходит для создания общего секретного ключа, который затем можно использовать для быстрого симметричного шифрования. Однако он сам по себе не шифрует сообщения.
Система, которая позволяет не только обмениваться ключами, но и шифровать сообщения с помощью пары ключей (открытого и закрытого), называется RSA (названа по фамилиям создателей: Рон Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман). Она также основана на модульной арифметике, но использует другую сложную математическую задачу: разложение больших чисел на простые множители. Легко перемножить два больших простых числа, но очень трудно, зная результат, найти исходные множители.
Заключение
Криптография с открытым ключом — это основа безопасности в интернете, от защищенных веб-сайтов (HTTPS) до шифрования электронной почты и цифровых подписей. Парадоксальная идея о том, что публикация части криптографической информации (открытого ключа) делает коммуникацию безопаснее, стала возможной благодаря остроумному применению теории чисел. Простая математика, лежащая в основе этих систем, защищает нашу цифровую жизнь каждый день.
“`
Добавить комментарий