🛡️ Особые решения задачи о восьми ферзях
Существует 92 способа расставить восемь ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один ферзь не атаковал другого. Эти решения делятся на 12 классов эквивалентности (групп, связанных симметриями). Все 92 варианта получаются поворотами или отражениями 12 базовых решений.
🔍 Почему 92 не кратно 12?
На первый взгляд кажется странным, что общее число решений (92) не делится на 12. Это связано с тем, что одно из решений обладает повышенной симметрией! Если разложить 92 на множители, получится:
8 × 11 + 4 × 1
Здесь 11 — количество «обычных» классов, а 1 — уникальный класс с симметричным решением.
Примеры решений
1. Стандартное решение
Большинство решений (например, как на рисунке ниже) входят в класс из 8 вариантов. Их можно получить поворотами доски на 90° или отражениями (по вертикали/горизонтали).
2. Симметричное решение
Одно из решений обладает уникальной симметрией: при повороте на 180° или отражении оно не меняется! Например, отражение здесь эквивалентно двум поворотам на 90°.
🤔 Почему это важно?
Многие ожидают, что все решения будут симметричными, но это не так. Именно это заблуждение часто мешает новичкам найти правильную расстановку!
Задача «Три на одной линии»
Среди 11 «несимметричных» классов есть решение, где никакие три ферзя не лежат на одной прямой (даже с учетом диагоналей). Это связано с исторической задачей Генри Дьюдени (1900 г.) о расстановке точек на сетке без трёх на одной линии.
🔗 Интересный факт
Решение для восьми ферзей одновременно является решением задачи Дьюдени!
📌 Ключевые термины
- Горизонталь (rank), вертикаль (file), диагональ (diagonal).
- Группа диэдра D8 — математическая группа, описывающая симметрии квадрата (повороты и отражения).
💡 Эта задача показывает, как математика и шахматы переплетаются в поиске элегантных решений!